\mathbf{3}^{\text {a) }} questão. Um regulador BUCK-BOOST tem uma tensão de entrada de 40 V . A relação \mathrm{t}_{1} / \mathrm{T} é de 0,30 , o “RIPPLE” de corrente é de 10 \% da corrente \mathrm{I}_{\mathrm{a}} e o “RIPPLE” da tensão de saída é de 0,15 \%. Considere a frequência de 25 kHz e a corrente \mathrm{I}_{\mathrm{a}}=9 \mathrm{~A} Calcular:
a) a indutância \mathrm{L}_{1};
b) o capacitor C ;
c) a tensão de saída;
d) a corrente \mathrm{I}_{\mathrm{s}} da fonte.
e) Mostre as correntes na fonte, no capacitor, no indutor e no diodo.
f) Calcule a corrente máxima na chave e no diodo.
g) Calcule o indutor e o capacitor críticos

Passo 1

Listar claramente os dados do enunciado e o que é pedido (vou assumir que \mathrm{I}_{a} é a corrente média do indutor — explico o porquê depois):
  • Tensão de entrada: \,V_{\text{in}}=40\\ \text{V}.
  • Razão cíclica: \,D=\dfrac{t_1}{T}=0{,}30.
  • Frequência: \,f=25\\ \text{kHz} (logo T=\dfrac{1}{f}=4{,}0\cdot10^{-5}\\ \text{s}).
  • “Ripple” de corrente: \, \Delta i_{L(pp)} = 10\% da corrente \mathrm{I}_{a}.
  • “Ripple” de tensão de saída: \, \Delta v_{o(pp)} = 0{,}15\% da tensão de saída.
  • Corrente dada: \,\mathrm{I}_{a}=9\\ \text{A}.
  • O enunciado pede:
    a) \,L_1;
    b) \,C;
    c) tensão de saída \,V_o;
    d) corrente da fonte \,I_s;
    e) descrever as correntes na fonte, no capacitor, no indutor e no diodo (formas e valores médios/peaks);
    f) corrente máxima na chave e no diodo;
    g) indutor e capacitor críticos.
Observação importante (assunção feita): interpreto \mathrm{I}_a como a corrente média do indutor \,I_{L,\text{med}}. Justificativa curta: se \mathrm{I}_a fosse a corrente de carga (saida) surgiriam contradições com os balances de corrente/potência no conversor buck–boost. Com \mathrm{I}_a=I_{L,\text{med}} as relações de média ficam consistentes (vou mostrar essas relações adiante).

Passo 2

Breve teoria do conversor buck–boost (modo contínuo) e fórmulas básicas que vou usar — explicação didática e sem pular etapas:
  • Configuração ideal (não considerar perdas): a tensão de saída (módulo) do buck–boost é
V_o = \frac{D}{1-D}\,V_{\text{in}}.
Isto vem do fato de que, em regime permanente, a média da tensão no indutor é zero: durante o intervalo ON a tensão no indutor vale V_{\text{in}} por duração D T; no intervalo OFF vale -V_o por duração (1-D)T. Assim V_{\text{in}}D + (-V_o)(1-D)=0 -> fórmula acima. (O sinal de V_o é negativo no conversor inversor; aqui vou trabalhar com módulos quando conveniente e indicar o sinal quando necessário.)
  • Variação pico-a-pico da corrente do indutor (triangular) — motivo: no intervalo ON a derivada da corrente é \dfrac{di_L}{dt}=\dfrac{V_{\text{in}}}{L}. Então a variação durante D T é
\Delta i_{L(pp)} = \frac{V_{\text{in}}}{L}\,D T = \frac{V_{\text{in}} D}{L f}.
Essa é a fórmula que irei inverter para encontrar L.
  • Relações entre correntes médias (explicação clara):
    • A corrente média do indutor é \,I_{L,\text{med}}=\mathrm{I}_a (dado).
    • A fonte alimenta o indutor só durante o intervalo ON (quando o diodo está bloqueado). Então a corrente média fornecida pela fonte é a corrente média do indutor ponderada pelo tempo ON:
    I_s = D\cdot I_{L,\text{med}}.Intuição: o indutor conduz sempre, mas a fonte só “vê” essa corrente durante D do período.
    • A corrente média do diodo (média sobre o período) é o que chega ao resistor de saída; por conservação de carga (capacitor média nula) a corrente média do diodo ao longo do período é exatamente a corrente de carga I_o. Como o diodo conduz somente em (1-D) do tempo, a média do diodo durante o intervalo de condução é maior: I_{D,\text{cond,med}}=I_o/(1-D). A relação entre I_o e I_{L,\text{med}} é
    I_o = (1-D)\,I_{L,\text{med}}.Derivação curta: durante OFF o indutor fornece corrente ao diodo por (1-D)T, então a corrente média do diodo sobre o período é (1-D) vezes a média de i_L naquele intervalo; como a média de i_L no intervalo OFF é (I_{\min}+I_{\max})/2=I_{L,\text{med}}, obtemos I_o=(1-D)I_{L,\text{med}}.
  • Capacitor e ripple de tensão: durante o intervalo ON a saída fica isolada do indutor (diodo bloqueado) e a carga é suprida pelo capacitor, que se descarrega um pouco. A variação de carga no capacitor em ON é \Delta Q = I_o \cdot D T. Isso gera ripple de tensão
\Delta v_{o(pp)} = \frac{\Delta Q}{C} = \frac{I_o \, D T}{C}.
Logo
C = \frac{I_o \, D T}{\Delta v_{o(pp)}} = \frac{I_o \, D}{f\,\Delta v_{o(pp)}}.
Essa é a fórmula que vou usar para calcular C.

Passo 3

Calcular a tensão de saída \,V_o (parte c) — passo simples usando a fórmula do buck–boost:
V_o = \frac{D}{1-D}\,V_{\text{in}} = \frac{0{,}30}{1-0{,}30}\cdot 40 = \frac{0{,}30}{0{,}70}\cdot 40 = \frac{3}{7}\cdot 40 = 17{,}142857\\ \text{V}.
Observação: em configuração inversora o sinal é negativo; em módulo o valor é 17{,}142857\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular a indutância \,L_1 (parte a), com explicação passo a passo:
  • Primeiro computo a ripple de corrente (dado como 10\% de \mathrm{I}_a):
\Delta i_{L(pp)} = 0{,}10\cdot I_{L,\text{med}} = 0{,}10\cdot 9\\ \text{A} = 0{,}9\\ \text{A}.
  • Usando \Delta i_{L(pp)} = \dfrac{V_{\text{in}} D}{L f}, resolvo para L:
L = \frac{V_{\text{in}} D}{\Delta i_{L(pp)}\, f}.
Substituindo números:
L = \frac{40\cdot0{,}30}{0{,}9\cdot25000} = \frac{12}{22500} = 5{,}3333\cdot10^{-4}\\ \text{H} = 533{,}3\\ \mu\text{H}.

Passo 5

Calcular a corrente de saída \,I_o (necessária para o capacitor) e a corrente da fonte \,I_s (parte d — também uso isso em (b)):
  • Relações (repetindo com números):
I_o = (1-D)\,I_{L,\text{med}} = 0{,}70\cdot 9 = 6{,}3\\ \text{A}.
I_s = D\,I_{L,\text{med}} = 0{,}30\cdot 9 = 2{,}7\\ \text{A}.
Checagem de potência (consistência): P_{\text{in}}=V_{\text{in}}I_s=40\cdot2{,}7=108\\ \text{W}. P_{\text{out}}=V_o I_o=17{,}142857\cdot6{,}3\approx108\\ \text{W}. OK (ideais).

Passo 6

Calcular o capacitor C (parte b), com explicação:
  • Primeiro o ripple de tensão desejado:
\Delta v_{o(pp)} = 0{,}15\% \cdot V_o = 0{,}0015\cdot 17{,}142857 = 0{,}0257142857\\ \text{V}.
  • Fórmula para C:
C = \frac{I_o \, D}{f\,\Delta v_{o(pp)}}.
Substituindo:
C = \frac{6{,}3\cdot 0{,}30}{25000\cdot 0{,}0257142857} = \frac{1{,}89}{642{,}8571425} \approx 0{,}00294\\ \text{F} = 2{,}94\\ \text{mF} = 2940\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Mostrar (parte e) as correntes na fonte, no capacitor, no indutor e no diodo — formas e valores numéricos (passo a passo, intuitivo):
  • Indutor:
    • Corrente média: \,I_{L,\text{med}}= \mathrm{I}_a = 9\\ \text{A} (dado).
    • Ripple pico-a-pico: \Delta i_{L(pp)}=0{,}9\\ \text{A}.
    • Sinal triangular: aumenta durante ON, diminui durante OFF.
    • Valores extremos: I_{L,\max}=I_{L,\text{med}}+\frac{\Delta i_{L(pp)}}{2}=9+0{,}45=9{,}45\\ \text{A},
I_{L,\min}=9-0{,}45=8{,}55\\ \text{A}.
  • Fonte (input):
    • A fonte fornece corrente apenas durante o intervalo ON (quando o indutor está ligado à entrada). A forma é pulsada (igual ao perfil do indutor no ON) e média: I_s = D\,I_{L,\text{med}} = 2{,}7\\ \text{A}.
    • Durante ON instantaneamente a corrente na fonte acompanha i_L(t); fora de ON a fonte deve entregar zero (diodo bloqueado).
  • Diodo:
    • O diodo conduz durante OFF e então sua corrente é a corrente do indutor naquele intervalo (triangular decrescente).
    • Corrente média do diodo ao longo do período é a corrente de carga: \overline{I_D} = I_o = 6{,}3\\ \text{A}.
    • Mas durante o intervalo de condução (somente (1-D) do tempo) a média do diodo é maior: I_{D,\text{med,cond}} = \frac{I_o}{1-D} = \frac{6{,}3}{0{,}7}=9\\ \text{A},que coincide com I_{L,\text{med}} (esperado).
    • Pico do diodo: I_{D,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
  • Capacitor:
    • Corrente do capacitor i_C(t) é a diferença entre corrente do diodo e corrente da carga no instante em que o diodo conduz, ou -I_o quando o diodo está bloqueado.
    • Durante ON (diodo bloqueado): i_C(t) = -I_o = -6{,}3\\ \text{A} (capacitor entrega corrente à carga, descarregando).
    • Durante OFF: i_C(t) = i_L(t) - I_o. Assim o capacitor é recarregado durante parte do intervalo OFF.
    • A média de i_C ao longo de um período é zero (condição de regime permanente).

Passo 8

Correntes máximas na chave e no diodo (parte f) — cálculo direto:
  • A chave (transistor) quando está ligada conduz a corrente do indutor. Logo a corrente máxima na chave é
I_{S,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
  • O diodo quando conduz carrega a corrente do indutor; seu pico é o mesmo:
I_{D,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.

Passo 9

Cálculo do indutor crítico e do capacitor crítico (parte g) — o que significa “crítico” e cálculos:
  • Indutor crítico L_{\text{crit}}: é o menor indutor que mantém o conversor em modo contínuo de condução (CCM). A condição de limite é I_{L,\min}=0. Como \Delta i_{L(pp)} = \dfrac{V_{\text{in}} D}{L f} e para o caso crítico \dfrac{\Delta i_{L(pp)}}{2}=I_{L,\text{med}}, obtemos
L_{\text{crit}} = \frac{V_{\text{in}} D}{2 I_{L,\text{med}} f}.
Substituindo:
L_{\text{crit}} = \frac{40\cdot 0{,}30}{2\cdot 9 \cdot 25000} = \frac{12}{450000} = 2{,}6667\cdot10^{-5}\\ \text{H} = 26{,}667\\ \mu\text{H}.
Comparação: o projeto com L=533{,}3\\ \mu\text{H} está muito acima do crítico -> operação em CCM garantida.
  • Capacitor crítico C_{\text{crit}}: normalmente, para atender um especificado \Delta v_{o(pp)} usamos a fórmula já apresentada; o menor capacitor que garante esse ripple é
C_{\text{crit}} = \frac{I_o \, D}{f\,\Delta v_{o(pp)}}.
Isto é exatamente o C que calculamos para atender o ripple dado; logo
C_{\text{crit}} = 2{,}94\\ \text{mF}.
(Se o enunciado entendesse “capacitor crítico” com outro significado, esse é o critério usual: capacitância mínima para não exceder o ripple de tensão especificado.)

Resposta

(a) L_1 = 5{,}333\cdot10^{-4}\\ \text{H} = 533{,}3\\ \mu\text{H}.
(b) C = 2{,}94\cdot10^{-3}\\ \text{F} = 2{,}94\\ \text{mF} \\ (2940\\ \mu\text{F}).
(c) V_o = \dfrac{D}{1-D}V_{\text{in}} = 17{,}142857\\ \text{V} (módulo).
(d) I_s = D\cdot I_{L,\text{med}} = 0{,}30\cdot 9 = 2{,}7\\ \text{A}.
(e) Currents (valores médios e picos):
  • Indutor: I_{L,\text{med}}=9\\ \text{A}, \Delta i_{L(pp)}=0{,}9\\ \text{A}, I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}, I_{L,\min}=8{,}55\\ \text{A}.
  • Fonte: pulsada durante ON, média I_s=2{,}7\\ \text{A}.
  • Diodo: conduz em OFF; média ao longo do período \overline{I_D}=I_o=6{,}3\\ \text{A}; média durante condução =9\\ \text{A}; pico I_{D,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
  • Capacitor: durante ON i_C=-I_o=-6{,}3\\ \text{A} (descarga), durante OFF i_C=i_L-I_o; média =0.
(f) Corrente máxima na chave e no diodo:
  • I_{S,\max}=I_{D,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
(g) Indutor e capacitor críticos:
  • L_{\text{crit}} = 2{,}6667\cdot10^{-5}\\ \text{H} = 26{,}667\\ \mu\text{H}.
  • C_{\text{crit}} = 2{,}94\cdot10^{-3}\\ \text{F} = 2{,}94\\ \text{mF}.

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