\mathbf{3}^{\text {a) }} questão. Um regulador BUCK-BOOST tem uma tensão de entrada de 40 V . A relação \mathrm{t}_{1} / \mathrm{T} é de 0,30 , o “RIPPLE” de corrente é de 10 \% da corrente \mathrm{I}_{\mathrm{a}} e o “RIPPLE” da tensão de saída é de 0,15 \%. Considere a frequência de 25 kHz e a corrente \mathrm{I}_{\mathrm{a}}=9 \mathrm{~A} Calcular:
a) a indutância \mathrm{L}_{1};
b) o capacitor C ;
c) a tensão de saída;
d) a corrente \mathrm{I}_{\mathrm{s}} da fonte.
e) Mostre as correntes na fonte, no capacitor, no indutor e no diodo.
f) Calcule a corrente máxima na chave e no diodo.
g) Calcule o indutor e o capacitor críticos
Passo 1
Listar claramente os dados do enunciado e o que é pedido (vou assumir que \mathrm{I}_{a} é a corrente média do indutor — explico o porquê depois):
“Ripple” de corrente: \, \Delta i_{L(pp)} = 10\% da corrente \mathrm{I}_{a}.
“Ripple” de tensão de saída: \, \Delta v_{o(pp)} = 0{,}15\% da tensão de saída.
Corrente dada: \,\mathrm{I}_{a}=9\\ \text{A}.
O enunciado pede:
a) \,L_1;
b) \,C;
c) tensão de saída \,V_o;
d) corrente da fonte \,I_s;
e) descrever as correntes na fonte, no capacitor, no indutor e no diodo (formas e valores médios/peaks);
f) corrente máxima na chave e no diodo;
g) indutor e capacitor críticos.
Observação importante (assunção feita): interpreto \mathrm{I}_a como a corrente média do indutor \,I_{L,\text{med}}. Justificativa curta: se \mathrm{I}_a fosse a corrente de carga (saida) surgiriam contradições com os balances de corrente/potência no conversor buck–boost. Com \mathrm{I}_a=I_{L,\text{med}} as relações de média ficam consistentes (vou mostrar essas relações adiante).
Passo 2
Breve teoria do conversor buck–boost (modo contínuo) e fórmulas básicas que vou usar — explicação didática e sem pular etapas:
Configuração ideal (não considerar perdas): a tensão de saída (módulo) do buck–boost é
V_o = \frac{D}{1-D}\,V_{\text{in}}.
Isto vem do fato de que, em regime permanente, a média da tensão no indutor é zero: durante o intervalo ON a tensão no indutor vale V_{\text{in}} por duração D T; no intervalo OFF vale -V_o por duração (1-D)T. Assim V_{\text{in}}D + (-V_o)(1-D)=0 -> fórmula acima. (O sinal de V_o é negativo no conversor inversor; aqui vou trabalhar com módulos quando conveniente e indicar o sinal quando necessário.)
Variação pico-a-pico da corrente do indutor (triangular) — motivo: no intervalo ON a derivada da corrente é \dfrac{di_L}{dt}=\dfrac{V_{\text{in}}}{L}. Então a variação durante D T é
\Delta i_{L(pp)} = \frac{V_{\text{in}}}{L}\,D T = \frac{V_{\text{in}} D}{L f}.
Essa é a fórmula que irei inverter para encontrar L.
Relações entre correntes médias (explicação clara):
A corrente média do indutor é \,I_{L,\text{med}}=\mathrm{I}_a (dado).
A fonte alimenta o indutor só durante o intervalo ON (quando o diodo está bloqueado). Então a corrente média fornecida pela fonte é a corrente média do indutor ponderada pelo tempo ON:
I_s = D\cdot I_{L,\text{med}}.Intuição: o indutor conduz sempre, mas a fonte só “vê” essa corrente durante D do período.
A corrente média do diodo (média sobre o período) é o que chega ao resistor de saída; por conservação de carga (capacitor média nula) a corrente média do diodo ao longo do período é exatamente a corrente de carga I_o. Como o diodo conduz somente em (1-D) do tempo, a média do diodo durante o intervalo de condução é maior: I_{D,\text{cond,med}}=I_o/(1-D). A relação entre I_o e I_{L,\text{med}} é
I_o = (1-D)\,I_{L,\text{med}}.Derivação curta: durante OFF o indutor fornece corrente ao diodo por (1-D)T, então a corrente média do diodo sobre o período é (1-D) vezes a média de i_L naquele intervalo; como a média de i_L no intervalo OFF é (I_{\min}+I_{\max})/2=I_{L,\text{med}}, obtemos I_o=(1-D)I_{L,\text{med}}.
Capacitor e ripple de tensão: durante o intervalo ON a saída fica isolada do indutor (diodo bloqueado) e a carga é suprida pelo capacitor, que se descarrega um pouco. A variação de carga no capacitor em ON é \Delta Q = I_o \cdot D T. Isso gera ripple de tensão
\Delta v_{o(pp)} = \frac{\Delta Q}{C} = \frac{I_o \, D T}{C}.
Logo
C = \frac{I_o \, D T}{\Delta v_{o(pp)}} = \frac{I_o \, D}{f\,\Delta v_{o(pp)}}.
Essa é a fórmula que vou usar para calcular C.
Passo 3
Calcular a tensão de saída \,V_o (parte c) — passo simples usando a fórmula do buck–boost:
A fonte fornece corrente apenas durante o intervalo ON (quando o indutor está ligado à entrada). A forma é pulsada (igual ao perfil do indutor no ON) e média:I_s = D\,I_{L,\text{med}} = 2{,}7\\ \text{A}.
Durante ON instantaneamente a corrente na fonte acompanha i_L(t); fora de ON a fonte deve entregar zero (diodo bloqueado).
Diodo:
O diodo conduz durante OFF e então sua corrente é a corrente do indutor naquele intervalo (triangular decrescente).
Corrente média do diodo ao longo do período é a corrente de carga:\overline{I_D} = I_o = 6{,}3\\ \text{A}.
Mas durante o intervalo de condução (somente (1-D) do tempo) a média do diodo é maior:I_{D,\text{med,cond}} = \frac{I_o}{1-D} = \frac{6{,}3}{0{,}7}=9\\ \text{A},que coincide com I_{L,\text{med}} (esperado).
Pico do diodo: I_{D,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
Capacitor:
Corrente do capacitor i_C(t) é a diferença entre corrente do diodo e corrente da carga no instante em que o diodo conduz, ou -I_o quando o diodo está bloqueado.
Durante ON (diodo bloqueado): i_C(t) = -I_o = -6{,}3\\ \text{A} (capacitor entrega corrente à carga, descarregando).
Durante OFF: i_C(t) = i_L(t) - I_o. Assim o capacitor é recarregado durante parte do intervalo OFF.
A média de i_C ao longo de um período é zero (condição de regime permanente).
Passo 8
Correntes máximas na chave e no diodo (parte f) — cálculo direto:
A chave (transistor) quando está ligada conduz a corrente do indutor. Logo a corrente máxima na chave é
I_{S,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
O diodo quando conduz carrega a corrente do indutor; seu pico é o mesmo:
I_{D,\max}=I_{L,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
Passo 9
Cálculo do indutor crítico e do capacitor crítico (parte g) — o que significa “crítico” e cálculos:
Indutor crítico L_{\text{crit}}: é o menor indutor que mantém o conversor em modo contínuo de condução (CCM). A condição de limite é I_{L,\min}=0. Como \Delta i_{L(pp)} = \dfrac{V_{\text{in}} D}{L f} e para o caso crítico \dfrac{\Delta i_{L(pp)}}{2}=I_{L,\text{med}}, obtemos
Comparação: o projeto com L=533{,}3\\ \mu\text{H} está muito acima do crítico -> operação em CCM garantida.
Capacitor crítico C_{\text{crit}}: normalmente, para atender um especificado \Delta v_{o(pp)} usamos a fórmula já apresentada; o menor capacitor que garante esse ripple é
Isto é exatamente o C que calculamos para atender o ripple dado; logo
C_{\text{crit}} = 2{,}94\\ \text{mF}.
(Se o enunciado entendesse “capacitor crítico” com outro significado, esse é o critério usual: capacitância mínima para não exceder o ripple de tensão especificado.)
Fonte: pulsada durante ON, média I_s=2{,}7\\ \text{A}.
Diodo: conduz em OFF; média ao longo do período \overline{I_D}=I_o=6{,}3\\ \text{A}; média durante condução =9\\ \text{A}; pico I_{D,\max}=9{,}45\\ \text{A}.
Capacitor: durante ON i_C=-I_o=-6{,}3\\ \text{A} (descarga), durante OFF i_C=i_L-I_o; média =0.