Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As perguntas implícitas: qual a expressão de magnitude e fase em função de
, quais são as frequências de quebra, quais os coeficientes de inclinação (dB/dec), e como desenhar os traços assintóticos e a curva exata aproximada.
Passo 2
Decomposição do sistema e fórmulas úteis (aulas rápidas):
- Substituímos
para Bode: . - Magnitude exata: o módulo de
é
Explicação:
e
, como há um quadrado no denominador o módulo do denominador fica
.
- Em dB usamos a regra
- Fase exata: a fase é a soma das fases dos fatores. A fase de
é . A fase de é (em rad convertido para graus), com sinal negativo por estar no denominador. Logo:
Observação:
dá a fase de
(em radianos; multiplicar por
para graus) — aqui já apresentamos em graus para interpretar diretamente.
Passo 3
Regras práticas de Bode (resumo didático):
- Zero em
(zero na origem) adiciona uma inclinação de e de fase constante. - Cada polo simples em
com acrescenta a partir da frequência de quebra e uma variação de fase de distribuída aproximadamente de uma década antes até uma década depois de . - Como temos dois polos em
(ordem 2), eles contribuem juntos a partir de e fase total de espalhada ao redor de . - Resultado combinado das inclinações: para
a inclinação é (apenas o zero na origem domina); para a inclinação é .
Passo 4
Assíntotas de magnitude (fórmulas e interpretação):
- Baixas frequências
: aproximamos , então
Isto é uma reta com inclinação
.
- Altas frequências
: aproximamos , então
reta com inclinação
.
- Frequência de quebra (dos polos):
é a frequência onde a inclinação muda (os polos em atuam aí).
Passo 5
Cálculo do valor de ganho de referência e observações numéricas úteis:
- Valor do ganho constante:
(usado nas assíntotas). - A magnitude exata em função de
(repetindo):
- Note que a função tem um pico (máximo) em
. Calculamos exatamente:
Explicação rápida: o pico ocorre porque o numerador cresce com
e o denominador cresce com
, então há um máximo quando derivada muda de sinal; aqui isso acontece em
.
Passo 6
Pontos numéricos para marcar no esboço (magnitude):
Calculemos alguns pontos úteis (faixa de uma década abaixo e acima de ):
Calculemos alguns pontos úteis (faixa de uma década abaixo e acima de
- Para
:
- Para
(aprox. ):
- Para
: já calculado . - Para
(aprox. ): simétrico ao caso ,
- Para
: igual ao caso ,
Esses pontos mostram a forma: sobe até
(pico
) e decai depois.
Passo 7
Pontos numéricos para a fase (usar
):
Calculamos em algumas frequências (valores em graus arredondados):
Calculamos
-
: então -
: então -
: então -
: então -
: então
Interpretação: a fase transita de aproximadamente(frequências muito baixas) para aproximadamente (frequências muito altas), cruzando em .
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova — “faça assim”):
- Desenhe eixos: horizontal é
(por exemplo de a ), vertical mag em dB e fase em graus (separado em outro gráfico). - Marque a frequência de quebra
. - Magnitude:
- Trace a assíntota para
com inclinação usando a expressão . - Trace a assíntota para
com inclinação usando . - Marque os pontos numéricos calculados (
) e ajuste a curva real para passar por eles — a curva real sobe até em e depois decai.
- Trace a assíntota para
- Fase:
- Para
comece perto de . - Entre
e desenhe a transição suave de para , passando por em . Pode desenhar uma aproximação linear (na escala log) entre os pontos calculados (em ).
- Para
- Identifique comportamento final: inclinação final de
e fase final aproximada .
Passo 9
Observações finais e dicas de prova (para ganhar tempo):
- Sempre decomponha em fatores (ganho, zeros, polos) e some contribuições em dB (magnitude) e em graus (fase).
- Use os pontos
— eles fornecem uma boa malha de controle para o esboço. - Lembre-se: o zero na origem dá
e fixos; os polos em (ordem 2) dão a partir de e de fase espalhados ao redor de . O resultado final é uma curva que sobe até e depois decai.
Resposta
Magnitudo exata:
e em dB
.
Fase exata: .
Fase exata:
Frequência de quebra:
.
Assíntotas magnitude: para
inclinação
com expressão
; para
inclinação
com expressão
.
Pontos numéricos úteis (magnitude em dB):
Pontos numéricos úteis (fase em graus):
Resumo qualitativo do esboço: magnitude sobe com
até perto de
(pico
), depois decai com
; fase vai de aproximadamente
(baixo
) para aproximadamente
(alto
), cruzando
em
.