Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
G(s)=\frac{8 s}{(s+1)^{2}}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) de
G(s)=\frac{8s}{(s+1)^2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{zero em } s=0 \text{ (zero de ordem 1)},\qquad \text{polo duplo em } s=-1 \text{ (ordem 2)},\qquad \text{ganho estático } 8.á
As perguntas implícitas: qual a expressão de magnitude e fase em função de \omega, quais são as frequências de quebra, quais os coeficientes de inclinação (dB/dec), e como desenhar os traços assintóticos e a curva exata aproximada.

Passo 2

Decomposição do sistema e fórmulas úteis (aulas rápidas):
  • Substituímos s=j\omega para Bode: G(j\omega)=\dfrac{8\,j\omega}{(1+j\omega)^2}.
  • Magnitude exata: o módulo de G(j\omega) é
|G(j\omega)|=\frac{8\,\omega}{1+\omega^{2}}.
Explicação: |j\omega|=\omega e |1+j\omega|=\sqrt{1+\omega^{2}}, como há um quadrado no denominador o módulo do denominador fica 1+\omega^{2}.
  • Em dB usamos a regra
20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}(8)+20\log_{10}(\omega)-20\log_{10}(1+\omega^{2}).
  • Fase exata: a fase é a soma das fases dos fatores. A fase de j\omega é +90^\circ. A fase de (1+j\omega)^2 é 2\arctan(\omega) (em rad convertido para graus), com sinal negativo por estar no denominador. Logo:
\varphi(\omega)=90^\circ - 2\cdot\arctan(\omega)\quad(\text{onde }\arctan(\omega)\text{ em graus}).
Observação: \arctan(\omega) dá a fase de 1+j\omega (em radianos; multiplicar por 180/\pi para graus) — aqui já apresentamos em graus para interpretar diretamente.

Passo 3

Regras práticas de Bode (resumo didático):
  • Zero em s=0 (zero na origem) adiciona uma inclinação de +20\\ \text{dB/dec} e \;+\!90^\circ de fase constante.
  • Cada polo simples em s=-a com a>0 acrescenta -20\\ \text{dB/dec} a partir da frequência de quebra \omega=a e uma variação de fase de -90^\circ distribuída aproximadamente de uma década antes até uma década depois de \omega=a.
  • Como temos dois polos em s=-1 (ordem 2), eles contribuem juntos -40\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=1 e fase total de -180^\circ espalhada ao redor de \omega=1.
  • Resultado combinado das inclinações: para \omega\ll1 a inclinação é +20\\ \text{dB/dec} (apenas o zero na origem domina); para \omega\gg1 a inclinação é +20-40=-20\\ \text{dB/dec}.

Passo 4

Assíntotas de magnitude (fórmulas e interpretação):
  • Baixas frequências (\omega\ll1): aproximamos 1+\omega^2\approx 1, então
|G(j\omega)|\approx 8\omega,\qquad 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 20\log_{10}(8)+20\log_{10}(\omega).
Isto é uma reta com inclinação +20\\ \text{dB/dec}.
  • Altas frequências (\omega\gg1): aproximamos 1+\omega^2\approx\omega^2, então
|G(j\omega)|\approx \frac{8\omega}{\omega^2}=\frac{8}{\omega},\qquad 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 20\log_{10}(8)-20\log_{10}(\omega),
reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Frequência de quebra (dos polos): \omega_c=1 é a frequência onde a inclinação muda (os polos em s=-1 atuam aí).

Passo 5

Cálculo do valor de ganho de referência e observações numéricas úteis:
  • Valor do ganho constante: 20\log_{10}(8)=18{,}06\\ \text{dB} (usado nas assíntotas).
  • A magnitude exata em função de \omega (repetindo):
|G(j\omega)|=\frac{8\omega}{1+\omega^{2}},\qquad \text{em dB } 20\log_{10}\!\left(\frac{8\omega}{1+\omega^{2}}\right).
  • Note que a função tem um pico (máximo) em \omega=1. Calculamos exatamente:
|G(j1)|=\frac{8\cdot 1}{1+1^{2}}=\frac{8}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}(4)=12{,}04\\ \text{dB}.
Explicação rápida: o pico ocorre porque o numerador cresce com \omega e o denominador cresce com \omega^{2}, então há um máximo quando derivada muda de sinal; aqui isso acontece em \omega=1.

Passo 6

Pontos numéricos para marcar no esboço (magnitude):
Calculemos alguns pontos úteis (faixa de uma década abaixo e acima de \omega=1):
  • Para \omega=0{,}1:
|G(j0{,}1)|=\frac{8\cdot 0{,}1}{1+0{,}1^{2}}=\frac{0{,}8}{1{,}01}=0{,}79208\Rightarrow 20\log_{10}(\cdot)=-2{,}02\\ \text{dB}.
  • Para \omega=0{,}3162 (aprox. 1/\sqrt{10}):
|G(j0{,}3162)|=\frac{8\cdot 0{,}3162}{1+0{,}3162^{2}}=\frac{2{,}5298}{1{,}1}=2{,}2998\Rightarrow 20\log_{10}(\cdot)=7{,}23\\ \text{dB}.
  • Para \omega=1: já calculado |G(j1)|=4\Rightarrow 12{,}04\\ \text{dB}.
  • Para \omega=3{,}162 (aprox. \sqrt{10}): simétrico ao caso 0{,}3162,
20\log_{10}(|G(j3{,}162)|)=7{,}23\\ \text{dB}.
  • Para \omega=10: igual ao caso 0{,}1,
20\log_{10}(|G(j10)|)=-2{,}02\\ \text{dB}.
Esses pontos mostram a forma: sobe até \omega=1 (pico 12{,}04\\ \text{dB}) e decai depois.

Passo 7

Pontos numéricos para a fase (usar \varphi(\omega)=90^\circ-2\arctan(\omega)):
Calculamos \varphi em algumas frequências (valores em graus arredondados):
  • \omega=0{,}1: \arctan(0{,}1)\approx 5{,}71^\circ então \varphi\approx 90^\circ-2\cdot5{,}71^\circ=78{,}58^\circ.
  • \omega=0{,}3162: \arctan(0{,}3162)\approx 17{,}65^\circ então \varphi\approx 90^\circ-35{,}30^\circ=54{,}70^\circ.
  • \omega=1: \arctan(1)=45^\circ então \varphi=90^\circ-90^\circ=0^\circ.
  • \omega=3{,}162: \arctan(3{,}162)\approx 72{,}35^\circ então \varphi\approx 90^\circ-144{,}70^\circ=-54{,}70^\circ.
  • \omega=10: \arctan(10)\approx 84{,}29^\circ então \varphi\approx 90^\circ-168{,}58^\circ=-78{,}58^\circ.
    Interpretação: a fase transita de aproximadamente +90^\circ (frequências muito baixas) para aproximadamente -90^\circ (frequências muito altas), cruzando 0^\circ em \omega=1.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova — “faça assim”):
  1. Desenhe eixos: horizontal é \log_{10}(\omega) (por exemplo de 0{,}1 a 10), vertical mag em dB e fase em graus (separado em outro gráfico).
  2. Marque a frequência de quebra \omega=1.
  3. Magnitude:
    • Trace a assíntota para \omega<1 com inclinação +20\\ \text{dB/dec} usando a expressão 20\log_{10}(8)+20\log_{10}(\omega).
    • Trace a assíntota para \omega>1 com inclinação -20\\ \text{dB/dec} usando 20\log_{10}(8)-20\log_{10}(\omega).
    • Marque os pontos numéricos calculados ( \omega=0{,}1,0{,}3162,1,3{,}162,10) e ajuste a curva real para passar por eles — a curva real sobe até 12{,}04\\ \text{dB} em \omega=1 e depois decai.
  4. Fase:
    • Para \omega\ll1 comece perto de +90^\circ.
    • Entre 0{,}1 e 10 desenhe a transição suave de +90^\circ para -90^\circ, passando por 0^\circ em \omega=1. Pode desenhar uma aproximação linear (na escala log) entre os pontos calculados (em \omega=0{,}1,0{,}316,1,3{,}162,10).
  5. Identifique comportamento final: inclinação final de -20\\ \text{dB/dec} e fase final aproximada -90^\circ.

Passo 9

Observações finais e dicas de prova (para ganhar tempo):
  • Sempre decomponha em fatores (ganho, zeros, polos) e some contribuições em dB (magnitude) e em graus (fase).
  • Use os pontos \omega=0{,}1,0{,}316,1,3{,}162,10 — eles fornecem uma boa malha de controle para o esboço.
  • Lembre-se: o zero na origem dá \;+\!20\\ \text{dB/dec} e \;+\!90^\circ fixos; os polos em 1 (ordem 2) dão -40\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=1 e -180^\circ de fase espalhados ao redor de \omega=1. O resultado final é uma curva que sobe até \omega=1 e depois decai.

Resposta

Magnitudo exata: |G(j\omega)|=\dfrac{8\omega}{1+\omega^{2}} e em dB \;20\log_{10}\!\left(\dfrac{8\omega}{1+\omega^{2}}\right).
Fase exata: \varphi(\omega)=90^\circ-2\arctan(\omega).
Frequência de quebra: \omega_c=1.
Assíntotas magnitude: para \omega\ll1 inclinação +20\\ \text{dB/dec} com expressão 20\log_{10}(8)+20\log_{10}(\omega); para \omega\gg1 inclinação -20\\ \text{dB/dec} com expressão 20\log_{10}(8)-20\log_{10}(\omega).
Pontos numéricos úteis (magnitude em dB):
\omega=0{,}1:\\\ -2{,}02\\ \text{dB};\quad \omega=0{,}3162:\\\ 7{,}23\\ \text{dB};\quad \omega=1:\\\ 12{,}04\\ \text{dB};\quad \omega=3{,}162:\\\ 7{,}23\\ \text{dB};\quad \omega=10:\\\ -2{,}02\\ \text{dB}.
Pontos numéricos úteis (fase em graus):
\omega=0{,}1:\\\ 78{,}58^\circ;\quad \omega=0{,}3162:\\\ 54{,}70^\circ;\quad \omega=1:\\\ 0^\circ;\quad \omega=3{,}162:\\\ -54{,}70^\circ;\quad \omega=10:\\\ -78{,}58^\circ.
Resumo qualitativo do esboço: magnitude sobe com +20\\ \text{dB/dec} até perto de \omega=1 (pico 12{,}04\\ \text{dB}), depois decai com -20\\ \text{dB/dec}; fase vai de aproximadamente +90^\circ (baixo \omega) para aproximadamente -90^\circ (alto \omega), cruzando 0^\circ em \omega=1.

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