Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
G(s)=\frac{2000 s}{s^{2}+30 s+250}

Passo 1

O enunciado pede: “Esboce o diagrama de Bode” do sistema
G(s)=\frac{2000\,s}{s^{2}+30s+250}.
Informações dadas e perguntas implícitas que precisamos responder para esboçar o Bode:
  • Identificar zeros e polos (posições no plano s).
  • Encontrar frequências características (frequência natural da dupla de polos, ganhos) que definem os pontos de quebra (breakpoints).
  • Determinar os assentamentos (asymptotes) de magnitude (em dB) e de fase (em graus).
  • Calcular valores numéricos relevantes para desenhar: magnitude (em dB) e fase em algumas frequências de referência (por exemplo \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;\omega_n,\;100 rad/s) e o comportamento assimptótico para \omega\to0 e \omega\to\infty.
  • Fornecer instruções claras de como traçar o esboço (linhas de rampa, pontos marcantes, e forma da curva de fase).

Passo 2

Encontremos zeros/polos e parâmetros do denominador.
O numerador é 2000s — isso equivale a um zero em s=0 (zero na origem). Um zero na origem corresponde a um ganho proporcional a \omega e a uma contribuição de +20\\ \text{dB/dec} e +90^\circ de fase (explico isso mais adiante).
O denominador é s^{2}+30s+250. Vamos colocar na forma padrão de um segundo-ordem:
s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2},
comparando com s^2+30s+250 obtemos
\omega_n^{2}=250\quad\Rightarrow\quad \omega_n=\sqrt{250}\approx15{,}811.
E
2\zeta\omega_n=30\quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{30}{2\omega_n}=\frac{30}{2\cdot 15{,}811}\approx0{,}9487.
Ou seja, há um par de polos complexos conjugados com frequência natural \omega_n\approx15{,}811\\ \text{rad/s} e amortecimento \zeta\approx0{,}9487 (quase criticamente amortecido). Calculando explicitamente as raízes:
s=\frac{-30\pm\sqrt{30^{2}-4\cdot1\cdot250}}{2}=\frac{-30\pm\sqrt{-100}}{2}=-15\pm j5,
confirmando polos em s=-15\pm j5.
Resumo estrutural:
  • Zero: s=0.
  • Polos: s=-15\pm j5 com \omega_n=\sqrt{250}\approx15{,}811 e \zeta\approx0{,}9487.

Passo 3

Entendendo como cada pólo/zero contribui para o diagrama de Bode (aula rápida e prática):
  • Zero na origem ( s=0):
    • Magnitude: contribui com +20 dB/dec (ou seja, a inclinação sobe 20 dB por década).
    • Fase: contribui com +90^\circ em todas as frequências (para um ganho proporcional a j\omega, a fase é +90^\circ).
  • Par de polos complexos conjugados (segundo-ordem com \omega_n e \zeta):
    • Magnitude: equivalente a dois polos reais próximos, contribui com -40\\ \text{dB/dec} quando já acima da região de quebra. Juntando com o zero na origem (+20 dB/dec), o ganho total passa a ter inclinação -20\\ \text{dB/dec} para \omega muito maiores que \omega_n.
    • Fase: a resposta de fase da função \dfrac{1}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} é dada por \varphi_{\text{p}}(\omega)=-\operatorname{atan2}\big(2\zeta\omega_n\omega,\;\omega_n^2-\omega^2\big)\quad\text{(em radianos ou graus)},ou em graus: \varphi_{\text{p}}(\omega)=-\arctan\!\left(\frac{2\zeta\omega_n\omega}{\omega_n^{2}-\omega^{2}}\right)\quad(\text{em graus, usando conversão}).ãEssa contribuição vai de 0^\circ (para \omega\ll\omega_n) até -180^\circ (para \omega\gg\omega_n). Como temos o zero na origem ( +90^\circ), a fase total do sistema varia de +90^\circ (em baixas \omega) até -90^\circ (em altas \omega), cruzando 0^\circ em \omega=\omega_n — observe que em \omega=\omega_n o termo real do denominador se anula e a fase do denominador é +90^\circ, logo a fase do sistema é +90^\circ-90^\circ=0^\circ.
Regra prática para esboço:
  • Para magnitude use assimptotas: antes da primeira quebra (aqui o zero na origem já impõe rampa), e aplique mudanças de inclinação em cada quebra.
  • Para fase, o troço da mudança de fase de um par de polos normalmente se inicia cerca de uma década abaixo de \omega_n e termina uma década acima de \omega_n na regra grosseira; com \zeta alto a transição é mais concentrada perto de \omega_n.

Passo 4

Assíntotas de magnitude (cálculo analítico):
A expressão exata do módulo é
|G(j\omega)|=\frac{2000\,\omega}{\sqrt{\big(\omega^{2}-250\big)^{2}+(30\omega)^{2}}}.
Assíntotas úteis:
  • Para \omega\ll\omega_n (baixas frequências), como \omega^{2} é pequeno frente a 250, o denominador aproxima-se de \sqrt{250^{2}}=250. Assim
    |G(j\omega)|\approx\frac{2000\,\omega}{250}=8\,\omega.
    Em dB:
    20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 20\log_{10}\omega + 20\log_{10}8.
    Note: isso corresponde a uma reta com inclinação +20\\ \text{dB/dec} e intercepto 20\log_{10}8\approx18{,}06\\ \text{dB} quando \omega=1.
  • Para \omega\gg\omega_n (altas frequências), o termo \omega^{2} domina e o denominador ~ \omega^{2}, então
    |G(j\omega)|\approx\frac{2000\,\omega}{\omega^{2}}=\frac{2000}{\omega}.
    Em dB:
    20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 20\log_{10}2000 -20\log_{10}\omega.
    Isso é uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec} e intercepto 20\log_{10}2000\approx66{,}02\\ \text{dB} quando \omega=1.
Ponto de transição (frequência característica) é \omega_n=\sqrt{250}\approx15{,}811\\ \text{rad/s}. Observação: para um par de polos de segunda ordem a mudança de inclinação “efetiva” é de -40\\ \text{dB/dec}, mas aqui já existe um zero na origem que dá +20\\ \text{dB/dec}, portanto a inclinação líquida passa de +20 para -20\\ \text{dB/dec} ao atravessar \omega_n.

Passo 5

Cálculo de magnitude exata em \omega=\omega_n (ponto-chave):
Substituindo \omega=\omega_n na expressão do módulo, observe que \omega_n^{2}=250 faz com que o termo real do denominador anule:
|G(j\omega_n)|=\frac{2000\,\omega_n}{\sqrt{( \omega_n^{2}-250)^{2}+(30\omega_n)^{2}}} =\frac{2000\,\omega_n}{\sqrt{0+(30\omega_n)^{2}}}=\frac{2000\,\omega_n}{30\omega_n}=\frac{2000}{30}=\frac{200}{3}\approx66{,}6667.
Em dB:
20\log_{10}\!\left(\frac{200}{3}\right)\approx36{,}48\\ \text{dB}.
Esse é um ponto importante para o esboço: no diagrama de magnitude, no ponto de quebra \omega=\omega_n o ganho absoluto é cerca de 66{,}67 (ou 36{,}48 dB).

Passo 6

Cálculo de alguns pontos numéricos (para plotar pontos de referência). Usamos a fórmula exata
|G(j\omega)|=\frac{2000\,\omega}{\sqrt{\big(\omega^{2}-250\big)^{2}+(30\omega)^{2}}}
e para fase a fórmula
\varphi(\omega)=90^\circ-\arctan\!\left(\frac{30\omega}{250-\omega^{2}}\right)\quad(\text{em graus}),
pois a fase do denominador é \arctan\big(\tfrac{30\omega}{250-\omega^{2}}\big) e a fase total é +90^\circ (do zero na origem) menos essa quantidade.
Vamos calcular para \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;\omega_n,\;100 (arredondando resultados):
  • \omega=0{,}1: |G(j0{,}1)|\approx0{,}8\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}\approx-1{,}94\\ \text{dB}.
\varphi(0{,}1)\approx 90^\circ - \arctan\!\left(\frac{30\cdot0{,}1}{250-0{,}01}\right) =90^\circ - \arctan\!\left(\frac{3}{249{,}99}\right)\approx90^\circ -6{,}87^\circ \approx83{,}13^\circ.
  • \omega=1: |G(j1)|\approx7{,}976\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}\approx17{,}03\\ \text{dB}.
\varphi(1)\approx90^\circ - \arctan\!\left(\frac{30}{249}\right)\approx90^\circ -6{,}87^\circ \approx83{,}13^\circ.
(próximo de \omega=0{,}1 o ângulo do denominador ainda pequeno; valores próximos porque o termo quadrático ainda pequeno)
  • \omega=10: |G(j10)|\approx59{,}64\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}\approx35{,}51\\ \text{dB}.
\varphi(10)\approx90^\circ - \arctan\!\left(\frac{300}{250-100}\right)=90^\circ - \arctan\!\left(\frac{300}{150}\right) =90^\circ -63{,}4349^\circ \approx26{,}565^\circ.
  • \omega=\omega_n\approx15{,}811: |G(j\omega_n)|=\frac{200}{3}\approx66{,}6667\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}\approx36{,}48\\ \text{dB}.
\varphi(\omega_n)=90^\circ - \arctan\!\left(\frac{30\omega_n}{250-\omega_n^{2}}\right)=90^\circ - \arctan(\infty)=90^\circ -90^\circ=0^\circ.
  • \omega=100: |G(j100)|\approx19{,}606\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}\approx25{,}85\\ \text{dB}.
\varphi(100)\approx90^\circ - \arctan\!\left(\frac{3000}{250-10000}\right) =90^\circ - \arctan\!\left(\frac{3000}{-9750}\right)\approx90^\circ -162{,}9^\circ\approx-72{,}9^\circ.
Observações numéricas:
  • Para \omega muito pequeno, a magnitude segue aproximadamente 8\omega (em ganho linear) e a fase está próxima de +90^\circ.
  • Para \omega muito grande, a magnitude segue aproximadamente 2000/\omega (declinando a -20\\ \text{dB/dec}) e a fase aproxima-se de -90^\circ.

Passo 7

Como montar o esboço do diagrama de Bode (instruções de desenho passo a passo):
Magnitude:
  1. Em um gráfico logaritmo da frequência (eixo x em escala log), marque as frequências de referência (por exemplo \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;15{,}811,\;100).
  2. Desenhe a assíntota de baixa frequência: uma reta com inclinação +20\\ \text{dB/dec} passando por 20\log_{10}8\approx18{,}06\\ \text{dB} em \omega=1. Isso representa a contribuição do zero na origem para \omega\ll\omega_n.
  3. Em \omega=\omega_n aplique a mudança de inclinação correspondente ao par de polos: a inclinação muda em -40\\ \text{dB/dec}, porém como já estava em +20\\ \text{dB/dec}, a inclinação líquida após a quebra será -20\\ \text{dB/dec}. Ou seja, desenhe a nova reta decrescente com inclinação -20\\ \text{dB/dec} passando aproximadamente pelo ponto (\omega_n,\;36{,}48\\ \text{dB}).
  4. Marque os pontos calculados para \omega=0{,}1,1,10,\omega_n,100 para orientar o esboço e ligue suavemente as curvas respeitando as mudanças de inclinação.
Fase:
  1. Em baixas frequências ( \omega\ll\omega_n) a fase está próxima de +90^\circ.
  2. A contribuição de fase da dupla de polos começa a reduzir a fase total progressivamente ao redor de \omega_n — com \zeta\approx0{,}95 a transição é relativamente concentrada; um esboço razoável: comece a descer alguns graus por volta de uma décima de \omega_n e conclua a descida por volta de dez vezes \omega_n (regra prática). No meio dessa transição (em \omega=\omega_n) a fase é 0^\circ.
  3. Em altas frequências a fase aproxima-se de -90^\circ.
  4. Marque os valores de fase calculados ( \approx83{,}1^\circ em \omega=1; \approx26{,}6^\circ em \omega=10; 0^\circ em \omega=\omega_n; \approx-72{,}9^\circ em \omega=100) e conecte-os suavemente com a transição passando por 0^\circ em \omega_n.
Dicas práticas: desenhe as assíntotas de magnitude primeiro, depois ajuste levemente a curva real para passar pelos pontos exatos calculados (especialmente pelo ponto (\omega_n,36{,}48\\ \text{dB})). Para a fase desenhe uma transição suave de +90^\circ para -90^\circ centrada em \omega_n, passando por 0^\circ em \omega_n.

Passo 8

Interpretação física rápida (motivacional amigo): o sistema tem comportamento diferencial em baixas frequências (ganho cresce com \omega e fase perto de +90^\circ) porque há um zero na origem. Depois, ao redor de \omega\approx15{,}8\\ \text{rad/s} os polos aparecem e impõem uma forte atenuação, invertendo a tendência e fazendo o ganho cair com -20\\ \text{dB/dec} em altas frequências e a fase terminar em -90^\circ. Não há pico de ressonância pronunciado porque \zeta é alto ( \approx0{,}95).

Resposta

Frequência natural: \omega_n=\sqrt{250}\approx15{,}811\\ \text{rad/s}.
Magnitude (resumo para esboço):
  • Assíntota baixa frequência: |G(j\omega)|\approx 8\,\omega (em dB: 20\log_{10}\omega+20\log_{10}8, inclinação +20\\ \text{dB/dec}).
  • Em \omega=\omega_n: |G(j\omega_n)|=\dfrac{200}{3}\approx66{,}6667 (em dB \approx36{,}48\\ \text{dB}).
  • Assíntota alta frequência: |G(j\omega)|\approx \dfrac{2000}{\omega} (em dB: 20\log_{10}2000-20\log_{10}\omega, inclinação -20\\ \text{dB/dec}).
  • Mudança de inclinação ao redor de \omega_n: de +20\\ \text{dB/dec} para -20\\ \text{dB/dec}.
Valores numéricos úteis de magnitude:
  • \omega=0{,}1:\\ |G|\approx0{,}8\Rightarrow -1{,}94\\ \text{dB}.
  • \omega=1:\\ |G|\approx7{,}976\Rightarrow 17{,}03\\ \text{dB}.
  • \omega=10:\\ |G|\approx59{,}64\Rightarrow 35{,}51\\ \text{dB}.
  • \omega=\omega_n:\\ |G|=\dfrac{200}{3}\approx66{,}667\Rightarrow 36{,}48\\ \text{dB}.
  • \omega=100:\\ |G|\approx19{,}606\Rightarrow 25{,}85\\ \text{dB}.
Fase (resumo para esboço):
  • Em baixas \omega: \varphi\approx+90^\circ.
  • Em \omega=\omega_n: \varphi=0^\circ.
  • Em altas \omega: \varphi\to-90^\circ.
  • Valores numéricos:
    • \omega=0{,}1:\\ \varphi\approx83{,}13^\circ.
    • \omega=1:\\ \varphi\approx83{,}13^\circ.
    • \omega=10:\\ \varphi\approx26{,}56^\circ.
    • \omega=\omega_n:\\ \varphi=0^\circ.
    • \omega=100:\\ \varphi\approx-72{,}9^\circ.
Instruções de esboço final:
  • Traçar a assíntota crescente +20\\ \text{dB/dec} para baixas \omega (linha passa aproximadamente por 18{,}06\\ \text{dB} em \omega=1).
  • Em \omega\approx15{,}8 aplicar quebra e passar a inclinação líquida para -20\\ \text{dB/dec}, garantindo que a curva passe por (\omega_n,36{,}48\\ \text{dB}).
  • Traçar a fase de +90^\circ para baixo a -90^\circ passando por 0^\circ em \omega_n, ajustando a transição para ficar relativamente concentrada em torno de \omega_n (devido ao \zeta\approx0{,}95).

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