Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede: “Esboce o diagrama de Bode” do sistema
Informações dadas e perguntas implícitas que precisamos responder para esboçar o Bode:
- Identificar zeros e polos (posições no plano s).
- Encontrar frequências características (frequência natural da dupla de polos, ganhos) que definem os pontos de quebra (breakpoints).
- Determinar os assentamentos (asymptotes) de magnitude (em dB) e de fase (em graus).
- Calcular valores numéricos relevantes para desenhar: magnitude (em dB) e fase em algumas frequências de referência (por exemplo
rad/s) e o comportamento assimptótico para e . - Fornecer instruções claras de como traçar o esboço (linhas de rampa, pontos marcantes, e forma da curva de fase).
Passo 2
Encontremos zeros/polos e parâmetros do denominador.
O numerador é
— isso equivale a um zero em
(zero na origem). Um zero na origem corresponde a um ganho proporcional a
e a uma contribuição de
e
de fase (explico isso mais adiante).
O denominador é
. Vamos colocar na forma padrão de um segundo-ordem:
comparando com
obtemos
E
Ou seja, há um par de polos complexos conjugados com frequência natural
e amortecimento
(quase criticamente amortecido). Calculando explicitamente as raízes:
confirmando polos em
.
Resumo estrutural:
- Zero:
. - Polos:
com e .
Passo 3
Entendendo como cada pólo/zero contribui para o diagrama de Bode (aula rápida e prática):
-
Zero na origem (
): - Magnitude: contribui com +20 dB/dec (ou seja, a inclinação sobe 20 dB por década).
- Fase: contribui com
em todas as frequências (para um ganho proporcional a , a fase é ).
-
Par de polos complexos conjugados (segundo-ordem com
e ): - Magnitude: equivalente a dois polos reais próximos, contribui com
quando já acima da região de quebra. Juntando com o zero na origem (+20 dB/dec), o ganho total passa a ter inclinação para muito maiores que . - Fase: a resposta de fase da função
é dada por ou em graus: Essa contribuição vai de (para ) até (para ). Como temos o zero na origem ( ), a fase total do sistema varia de (em baixas ) até (em altas ), cruzando em — observe que em o termo real do denominador se anula e a fase do denominador é , logo a fase do sistema é .
- Magnitude: equivalente a dois polos reais próximos, contribui com
Regra prática para esboço:
- Para magnitude use assimptotas: antes da primeira quebra (aqui o zero na origem já impõe rampa), e aplique mudanças de inclinação em cada quebra.
- Para fase, o troço da mudança de fase de um par de polos normalmente se inicia cerca de uma década abaixo de
e termina uma década acima de na regra grosseira; com alto a transição é mais concentrada perto de .
Passo 4
Assíntotas de magnitude (cálculo analítico):
A expressão exata do módulo é
Assíntotas úteis:
-
Para
(baixas frequências), como é pequeno frente a , o denominador aproxima-se de . Assim Em dB:Note: isso corresponde a uma reta com inclinaçãoe intercepto quando . -
Para
(altas frequências), o termo domina e o denominador ~ , então Em dB:Isso é uma reta com inclinaçãoe intercepto quando .
Ponto de transição (frequência característica) é
. Observação: para um par de polos de segunda ordem a mudança de inclinação “efetiva” é de
, mas aqui já existe um zero na origem que dá
, portanto a inclinação líquida passa de
para
ao atravessar
.
Passo 5
Cálculo de magnitude exata em
(ponto-chave):
Substituindo
na expressão do módulo, observe que
faz com que o termo real do denominador anule:
Em dB:
Esse é um ponto importante para o esboço: no diagrama de magnitude, no ponto de quebra
o ganho absoluto é cerca de
(ou
dB).
Passo 6
Cálculo de alguns pontos numéricos (para plotar pontos de referência). Usamos a fórmula exata
e para fase a fórmula
pois a fase do denominador é
e a fase total é
(do zero na origem) menos essa quantidade.
Vamos calcular para
(arredondando resultados):
-
:
-
:
(próximo de
o ângulo do denominador ainda pequeno; valores próximos porque o termo quadrático ainda pequeno)
-
:
-
:
-
:
Observações numéricas:
- Para
muito pequeno, a magnitude segue aproximadamente (em ganho linear) e a fase está próxima de . - Para
muito grande, a magnitude segue aproximadamente (declinando a ) e a fase aproxima-se de .
Passo 7
Como montar o esboço do diagrama de Bode (instruções de desenho passo a passo):
Magnitude:
- Em um gráfico logaritmo da frequência (eixo x em escala log), marque as frequências de referência (por exemplo
). - Desenhe a assíntota de baixa frequência: uma reta com inclinação
passando por em . Isso representa a contribuição do zero na origem para . - Em
aplique a mudança de inclinação correspondente ao par de polos: a inclinação muda em , porém como já estava em , a inclinação líquida após a quebra será . Ou seja, desenhe a nova reta decrescente com inclinação passando aproximadamente pelo ponto . - Marque os pontos calculados para
para orientar o esboço e ligue suavemente as curvas respeitando as mudanças de inclinação.
Fase:
- Em baixas frequências (
) a fase está próxima de . - A contribuição de fase da dupla de polos começa a reduzir a fase total progressivamente ao redor de
— com a transição é relativamente concentrada; um esboço razoável: comece a descer alguns graus por volta de uma décima de e conclua a descida por volta de dez vezes (regra prática). No meio dessa transição (em ) a fase é . - Em altas frequências a fase aproxima-se de
. - Marque os valores de fase calculados (
em ; em ; em ; em ) e conecte-os suavemente com a transição passando por em .
Dicas práticas: desenhe as assíntotas de magnitude primeiro, depois ajuste levemente a curva real para passar pelos pontos exatos calculados (especialmente pelo ponto
). Para a fase desenhe uma transição suave de
para
centrada em
, passando por
em
.
Passo 8
Interpretação física rápida (motivacional amigo): o sistema tem comportamento diferencial em baixas frequências (ganho cresce com
e fase perto de
) porque há um zero na origem. Depois, ao redor de
os polos aparecem e impõem uma forte atenuação, invertendo a tendência e fazendo o ganho cair com
em altas frequências e a fase terminar em
. Não há pico de ressonância pronunciado porque
é alto (
).
Resposta
Frequência natural:
.
Magnitude (resumo para esboço):
- Assíntota baixa frequência:
(em dB: , inclinação ). - Em
: (em dB ). - Assíntota alta frequência:
(em dB: , inclinação ). - Mudança de inclinação ao redor de
: de para .
Valores numéricos úteis de magnitude:
Fase (resumo para esboço):
- Em baixas
: . - Em
: . - Em altas
: . - Valores numéricos:
-
Instruções de esboço final:
- Traçar a assíntota crescente
para baixas (linha passa aproximadamente por em ). - Em
aplicar quebra e passar a inclinação líquida para , garantindo que a curva passe por . - Traçar a fase de
para baixo a passando por em , ajustando a transição para ficar relativamente concentrada em torno de (devido ao ).