Esboce o diagrama polar para:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente esboçar o diagrama polar de
G(s) ;=;s-10s^2+6s+10
Isso é conteúdo de resposta em frequência (análise de sistemas no domínio de ). Pra resolver a gente vai:
  1. Substituir .
  2. Calcular as partes real e imaginária de .
  3. Identificar os pontos chave (início, fim e cruzamentos de eixos).
  4. Traçar o caminho no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, coloca G(jomega)=jomega-10(jomega)^2+6,jomega+10 =jomega-10-,omega^2+6jomega+10 :
Lembra que o diagrama polar é justamente o lugar geométrico de no plano (eixo real , imag. ), variando de a .

Passo 3

Pra separar parte real e imaginária, multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denom.:
denom^* = (10-omega^2)-j,6omega
Fazendo isso a gente chega em
G(jomega) =(16omega^2-100);+;j,(70omega-omega^3) omega^4+16omega^2+100
Ou seja
ReG=16omega^2-100omega^4+16omega^2+100, ImG=70omega-omega^3omega^4+16omega^2+100

Passo 4

Ponto inicial ( G(j0)=-1010=-1Rightarrow (-1,0) ):
G(jomega)approxjomega-omega^2=-jomegato 0
Comportamento pra :
vindo pelo eixo imaginário negativo (ou seja, aproximação ao 0 vindo de baixo).

Passo 5

Agora, os cruzamentos de eixos:
  1. ReG=16cdot70-10070^2+16cdot70+100 =10206120approx0,167,Im=0 ImGapprox70cdot2,5-(2,5)^3(2,5)^4+16(2,5)^2+100 approx0,668 ou .
    • Em ,
    • Então cruza eixo real em .
  2. .
    • Em ,
    • Então cruza eixo imaginário em .

Passo 6

Juntando tudo:
  • Começa em quando .
  • Sobe para passar por em .
  • Continua até cruzar o real positivo em quando .
  • Depois vai descendo pelo semiplano inferior, aproximando-se de vindo de baixo.

Resposta

Diagrama polar de :
– Inicia em .
– Passa por .
– Cruzamento em .
– Encerra em , aproximando-se pelo eixo imaginário negativo.

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