Esboce o diagrama polar para:
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente “esboçar o diagrama polar” de
Isso é conteúdo de resposta em frequência: queremos traçar no plano complexo o lugar geométrico de
isto é, calcular módulo e fase de
e marcar alguns pontos para ligar tudo num “curva” contínua. Para isso a gente vai precisar de:
- saber escrever
; - saber calcular módulo e fase de números complexos;
- escolher algumas frequências-chave (
) para ter uma ideia da forma geral; - unir os pontos para formar o esboço do diagrama polar.
Passo 2
Substituímos
e separamos módulo e argumento:
$$G(j\omega)
=\frac{30,(j\omega+8)}{(j\omega),(j\omega+2),(j\omega+4)},. |G(j\omega)|=\frac{30,|j\omega+8|}{|j\omega|;|j\omega+2|;|j\omega+4|},\qquad
\arg G(j\omega)=\arg(j\omega+8);-;\Bigl[\arg(j\omega)+\arg(j\omega+2)+\arg(j\omega+4)\Bigr].$$
Passo 3
Vamos começar pelos limites mais simples:
-
: -
, -
⇒ . - Ângulos:
, , , .
⇒.
Então o traço começa “lá em cima” no eixo imaginário (módulo infinito) a.
-
-
: -
, , , ⇒
- Fases:, cada polo dá , etc ⇒ total denom .
Então o traço termina em 0 (origem) vindouro pelo eixo real negativo em. -
Passo 4
Agora escolhemos uns
intermediários e calculamos rapidinho módulo e fase (aprox.):
Tabela de ponto por ponto:
|
( | j\omega+8 | ) | ( | j\omega | ) | ( | j\omega+2 | ) | ( | j\omega+4 | ) | ( | G | ) |
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2 |
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2 |
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||||||||||
4 |
|
4 |
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||||||||||
8 |
|
8 |
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Cálculos resumidos em Latex para
, por exemplo:
$$|G(j2)|=\frac{30\sqrt{22+82}}{2\cdot\sqrt{22+22}\cdot\sqrt{22+42}}
=\frac{30\cdot8.246}{2\cdot2.828\cdot4.472}\approx9.8,$$
$$\arg G(j2)=\tan{-1}!\frac{2}{8}-\bigl[90\circ+\tan{-1}!\frac{2}{2}+\tan{-1}!\frac{2}{4}\bigr]
\approx14\circ-(90+45+26.6)\circ\approx-148^\circ.$$
Passo 5
Com esses pontos e os limites em
e
, você coloca no plano complexo:
- Em
, ponto “muito em cima” no eixo imaginário negativa (ângulo ); - Em
, um ponto a de módulo e ; - Em
, @ ; - Em
, @ ; - Em
, vai ao zero pelo eixo real negativo ( ).
Basta ligar esses pontos suavemente. Você vai ver uma curva que sai de “infinito” em –90°, desce girando para a esquerda, cruza perto de –180° e chega em 0 lá no lado negativo do eixo real.
Resposta
O diagrama polar de
sai com ângulo
e módulo “infinito” em
, percorre os pontos calculados (
) aproximando-se de ângulo
, e chega a módulo zero em
partindo do eixo real negativo.