Esboce o diagrama polar para:
G(s)=30(s+8)s(s+2)(s+4)

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente “esboçar o diagrama polar” de
G(s)=30,(s+8)s,(s+2),(s+4),
Isso é conteúdo de resposta em frequência: queremos traçar no plano complexo o lugar geométrico de
G(jomega)(omega>=0),
isto é, calcular módulo e fase de e marcar alguns pontos para ligar tudo num “curva” contínua. Para isso a gente vai precisar de:
  1. saber escrever ;
  2. saber calcular módulo e fase de números complexos;
  3. escolher algumas frequências-chave ( ) para ter uma ideia da forma geral;
  4. unir os pontos para formar o esboço do diagrama polar.

Passo 2

Substituímos G(jomega) =30,(jomega+8)(jomega),(jomega+2),(jomega+4), e separamos módulo e argumento:
$$G(j\omega)
=\frac{30,(j\omega+8)}{(j\omega),(j\omega+2),(j\omega+4)},. |G(j\omega)|=\frac{30,|j\omega+8|}{|j\omega|;|j\omega+2|;|j\omega+4|},\qquad
\arg G(j\omega)=\arg(j\omega+8);-;\Bigl[\arg(j\omega)+\arg(j\omega+2)+\arg(j\omega+4)\Bigr].$$

Passo 3

Vamos começar pelos limites mais simples:
  1. |G(jomega)|approx30,omegaomega^3=30omega^2to0:
    • arg G(jomega)approx90-270=-180^circ,
    • .
    • Ângulos: , , , .
      .
      Então o traço começa “lá em cima” no eixo imaginário (módulo infinito) a .
  2. :
    • , , ,
      - Fases: , cada polo dá , etc ⇒ total denom .
    Então o traço termina em 0 (origem) vindouro pelo eixo real negativo em .

Passo 4

Agora escolhemos uns |G(j2)|=30raiz2^2+8^22cdotraiz2^2+2^2cdotraiz2^2+4^2 =30cdot8.2462cdot2.828cdot4.472approx9.8, intermediários e calculamos rapidinho módulo e fase (aprox.):
Tabela de ponto por ponto:
arg G(j2)=tan^-1!28-l[90^circ+tan^-1!22+tan^-1!24r] approx14^circ-(90+45+26.6)^circapprox-148^circ ( j\omega+8 ) ( j\omega ) ( j\omega+2 ) ( j\omega+4 ) ( G )
2 2
4 4
8 8
Cálculos resumidos em Latex para , por exemplo:
$$|G(j2)|=\frac{30\sqrt{22+82}}{2\cdot\sqrt{22+22}\cdot\sqrt{22+42}}
=\frac{30\cdot8.246}{2\cdot2.828\cdot4.472}\approx9.8,$$
$$\arg G(j2)=\tan{-1}!\frac{2}{8}-\bigl[90\circ+\tan{-1}!\frac{2}{2}+\tan{-1}!\frac{2}{4}\bigr]
\approx14\circ-(90+45+26.6)\circ\approx-148^\circ.$$

Passo 5

Com esses pontos e os limites em e , você coloca no plano complexo:
  • Em , ponto “muito em cima” no eixo imaginário negativa (ângulo );
  • Em , um ponto a de módulo e ;
  • Em , @ ;
  • Em , @ ;
  • Em , vai ao zero pelo eixo real negativo ( ).
Basta ligar esses pontos suavemente. Você vai ver uma curva que sai de “infinito” em –90°, desce girando para a esquerda, cruza perto de –180° e chega em 0 lá no lado negativo do eixo real.

Resposta

O diagrama polar de sai com ângulo e módulo “infinito” em , percorre os pontos calculados ( ) aproximando-se de ângulo , e chega a módulo zero em partindo do eixo real negativo.

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