Esboce as curvas de logaritmo da magnitude versus ângulo de fase para:
Passo 1
Beleza! O exercício quer que a gente faça o diagrama de Bode (magnitude em escala logarítmica e ângulo de fase) para
Isso cai dentro de “Resposta em Frequência” e “Diagrama de Bode”. Pra resolver, a gente vai precisar:
1) Saber como converter
2) Entender como sacar magnitude e fase em função de
3) Usar aproximações assintóticas (reta de –20 dB/dec ou –40 dB/dec) e de fase (–90°, –180°).
Passo 2
Vamos primeiro mandar
e separar magnitude e fase.
– A magnitude é
Passando pra decibéis:
– A fase é a soma da fase do integrador
Passo 3
Agora, as aproximações assintóticas para a magnitude:
- Para
: , então
2) A partir derad/s, o termo domina, e vira mais um polo de –20 dB/dec. Ou seja, para
$$20\log_{10}|G|\approx 20 -20\log_{10}\omega ;-;20\log_{10}\tfrac{\omega}{10}=40 -40\log_{10}\omega\quad(slope-40\ \mathrm{dB/dec}).$$
O ponto de quebra (corner) é emrad/s.
Passo 4
Fase em aproximação de reta:
– Para rad/s,
, então
.
– A transição do polo em 10 rad/s ocorre de uma década abaixo (1 rad/s) até uma década acima (100 rad/s), distribuindo –90° uniformemente.
• Em : fase total
.
• Em : fase total
.
• Em : fase total
.
– Para , estabiliza em –180°.
– Para
– A transição do polo em 10 rad/s ocorre de uma década abaixo (1 rad/s) até uma década acima (100 rad/s), distribuindo –90° uniformemente.
• Em
• Em
• Em
– Para
Resposta
Magnitude (dB):
• Slope –20 dB/dec até , valor em 1 rad/s ≈20 dB.
• Em dB≈20–20·1=0 dB (ponto de quebra).
• Slope –40 dB/dec para .
• Slope –20 dB/dec até
• Em
• Slope –40 dB/dec para
Fase (graus):
• –90° para .
• Desce linearmente de –90° a –180° entre 1 e 100 rad/s, com –135° em 10.
• –180° para .
• –90° para
• Desce linearmente de –90° a –180° entre 1 e 100 rad/s, com –135° em 10.
• –180° para