Esboce as curvas de logaritmo da magnitude versus ângulo de fase para:
G(s)=10s(1+s / 10)

Passo 1

Beleza! O exercício quer que a gente faça o diagrama de Bode (magnitude em escala logarítmica e ângulo de fase) para
G(s) = 10s,(1 + s/10),
Isso cai dentro de “Resposta em Frequência” e “Diagrama de Bode”. Pra resolver, a gente vai precisar:
1) Saber como converter s em jomega.
2) Entender como sacar magnitude e fase em função de omega.
3) Usar aproximações assintóticas (reta de –20 dB/dec ou –40 dB/dec) e de fase (–90°, –180°).

Passo 2

Vamos primeiro mandar s = jomega e separar magnitude e fase.
G(jomega) ;=;10jomega,(1 + j,omega10),
– A magnitude é
|G(jomega)| ;=;10omega,raiz1 + (omega/10)^2,
Passando pra decibéis:
20log10|G(jomega)| = 20log1010 ;-;20log10omega ;-;10log10l(1+(tfracomega10)^2r)
– A fase é a soma da fase do integrador (1/jomega) com a do polo (1/(1+jomega/10)):
ang<= G(jomega) = -90^circ ;-;arctan!l(tfracomega10r),

Passo 3

Agora, as aproximações assintóticas para a magnitude:
  1. Para omega ll 10: (1+(omega/10)^2)approx1, então 20log10|G|approx 20 - 20log10omega(slope -20 dB/dec)
    2) A partir de omega=10,rad/s, o termo (omega/10)^2 domina, e vira mais um polo de –20 dB/dec. Ou seja, para omegagg10
    $$20\log_{10}|G|\approx 20 -20\log_{10}\omega ;-;20\log_{10}\tfrac{\omega}{10}=40 -40\log_{10}\omega\quad(slope-40\ \mathrm{dB/dec}).$$
    O ponto de quebra (corner) é em 20log10|G|approx 20 -20log10omega ;-;20log10tfracomega10 =40 -40log10omega(slope -40 dB/dec)rad/s.

Passo 4

Fase em aproximação de reta:
– Para omega <= 1,rad/s, arctan(omega/10)approx0, então ang<= Gapprox -90^circ.
– A transição do polo em 10 rad/s ocorre de uma década abaixo (1 rad/s) até uma década acima (100 rad/s), distribuindo –90° uniformemente.
• Em omega=1,: fase total approx -90° -5.7°approx -96°.
• Em omega=10,: fase total approx -90° -45° = -135°.
• Em omega=100,: fase total approx -90° -84° = -174°approx -180°.
– Para omega>=100,, estabiliza em –180°.

Resposta

Magnitude (dB):
• Slope –20 dB/dec até omega=10, valor em 1 rad/s ≈20 dB.
• Em omega=10 dB≈20–20·1=0 dB (ponto de quebra).
• Slope –40 dB/dec para omega>10.
Fase (graus):
• –90° para omega<=1.
• Desce linearmente de –90° a –180° entre 1 e 100 rad/s, com –135° em 10.
• –180° para omega>=100.

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