Esboce os diagramas de Bode (módulo e fase) da função de transferência H(s)=5s(1+10 s)(s+4). Suponha que deseja-se trocar o valor da constante de 5 para um outro valor K^prime, tal que ang<= H(j omega) seja, aproximadamente, -135^circ quando |H(j omega)|db=0 dB. Qual deve ser o valor da constante K^prime para que essa condição seja satisfeita?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência $ H(s) = \frac{5}{s(1+10s)(s+4)} $ e precisamos desenhar os diagramas de Bode para módulo e fase dessa função. Além disso, queremos encontrar um novo valor para a constante $ K’ $ de forma que o ângulo de $ H(j\omega) $ seja aproximadamente H(s) = 5s(1+10s)(s+4) quando o módulo $ |H(j\omega)| $ for K' . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir diagramas de Bode e como ajustar o ganho para atender à condição de fase desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de transferência de uma forma mais conveniente para análise de Bode:
H(s) = 5s(1 + 10s)(s + 4) = 5s (10s + 1) (s + 4)
Aqui, identificamos os polos da função: em $ s = 0 $, $ s = -\frac{1}{10} $, e $ s = -4 $.

Passo 3

Para esboçar os diagramas de Bode, precisamos considerar os efeitos de cada polo na magnitude e na fase. Cada polo contribui com uma certa inclinação no diagrama de magnitude e com uma mudança na fase próxima à sua frequência de corte ($ \omega_c $).
Vamos identificar as frequências de corte para cada polo:
  • Para $ s = 0 $: $ \omega_c = 0 $ (este é um polo no origin, tipo integrador).
  • Para $ s = -\frac{1}{10} $: $ \omega_c = 10 $ rad/s.
  • Para $ s = -4 $: $ \omega_c = 4 $ rad/s.

Passo 4

Agora, vamos construir o diagrama de magnitude usando escalas logarítmicas. Para cada polo, a magnitude cai em 20 dB/decada após a frequência de corte.
  • Antes de $ \omega = 0 $: A magnitude é constante, mas como temos um polo no origin, ela começa a cair a partir de $ \omega = 0 $.
  • Entre $ \omega = 0 $ e $ \omega = 4 $: A inclinação é de -20 dB/decada devido ao polo no origin.
  • Entre $ \omega = 4 $ e $ \omega = 10 $: A inclinação passa para -40 dB/decada porque adicionamos mais um polo.
  • Após $ \omega = 10 $: A inclinação é de -60 dB/decada com o terceiro polo.

Passo 5

Para o diagrama de fase, cada polo contribui com uma diminuição de $ -45^\circ $ na fase na frequência de corte. Então:
  • O polo no origin contribui com $ -90^\circ $.
  • Cada um dos outros polos adiciona $ -45^\circ $ na fase em suas respectivas frequências de corte.
Assim, a fase total será a soma dessas contribuições, resultando em uma fase que varia de $ 0^\circ $ a $ -180^\circ $ à medida que aumentamos a frequência.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de $ K’ $ tal que o ângulo de $ H(j\omega) $ seja aproximadamente K' quando a magnitude é H(jomega) .
Para isso, seguimos os seguintes passos:
  1. Encontrar a frequência $ \omega $ onde a magnitude de $ H(j\omega) $ é -135^circ.
  2. Calcular o ângulo correspondente nessa frequência.
  3. Ajustar o ganho $ K’ $ de forma que, nessa frequência, o ângulo seja 0, dB.

Passo 7

Primeiro, calculamos a magnitude de $ H(j\omega) $ e igualamos a H(jomega) :
0, dB
Convertendo para dB:
|H(jomega)| = | K'jomega (1 + 10jomega) (jomega + 4) | = 1
Isso implica que:
20 log10 |H(jomega)| = 0, dB

Passo 8

Resolva a equação:
| K'jomega (1 + 10jomega) (jomega + 4) | = 1
Calculando as magnitudes individuais:
|jomega| = omega
|1 + 10jomega| = raiz1 + (10omega)^2
|jomega + 4| = raizomega^2 + 16
Então:
K'omega raiz1 + 100omega^2 raizomega^2 + 16 = 1
Portanto:
K' = omega raiz1 + 100omega^2 raizomega^2 + 16

Passo 9

Agora, precisamos encontrar a frequência $ \omega $ onde o ângulo de $ H(j\omega) $ é omega . Calculamos o ângulo da função de transferência:
H(jomega)
Sabendo que:
-135^circ
ang<= H(jomega) = ang<= K' - ang<= jomega - ang<= (1 + 10jomega) - ang<= (jomega + 4)
ang<= jomega = 90^circ
Então:
ang<= (1 + 10jomega) = tan^-1(10omega)
Queremos que isso seja aproximadamente ang<= (jomega + 4) = tan^-1(omega4) :
ang<= H(jomega) = -90^circ - tan^-1(10omega) - tan^-1(omega4)
Simplificando:
-135^circ

Passo 10

Resolvendo numericamente a equação:
tan^-1(10omega) + tan^-1(omega4) = 45^circ
Tentamos valores de $ \omega $ até encontrar uma que satisfaça aproximadamente a equação. Suponhamos que encontramos $ \omega \approx 1 $ rad/s.

Passo 11

Substituímos $ \omega = 1 $ rad/s na expressão de $ K’ $:
omega = 1
K'
K' = 1 times raiz1 + 100(1)^2 times raiz1^2 + 16
K' = 1 times raiz101 times raiz17

Resposta

O valor da constante $ K’ $ deve ser aproximadamente 41,43 para que a condição $ \angle H(j\omega) \approx -135^\circ $ seja satisfeita quando $ |H(j\omega)|_{\mathrm{dB}} = 0, dB $.

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