Esboce os diagramas de Bode (módulo e fase) da função de transferência . Suponha que deseja-se trocar o valor da constante de 5 para um outro valor , tal que seja, aproximadamente, quando . Qual deve ser o valor da constante para que essa condição seja satisfeita?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência $ H(s) = \frac{5}{s(1+10s)(s+4)} $ e precisamos desenhar os diagramas de Bode para módulo e fase dessa função. Além disso, queremos encontrar um novo valor para a constante $ K’ $ de forma que o ângulo de $ H(j\omega) $ seja aproximadamente quando o módulo $ |H(j\omega)| $ for . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir diagramas de Bode e como ajustar o ganho para atender à condição de fase desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de transferência de uma forma mais conveniente para análise de Bode:
Aqui, identificamos os polos da função: em $ s = 0 $, $ s = -\frac{1}{10} $, e $ s = -4 $.
Passo 3
Para esboçar os diagramas de Bode, precisamos considerar os efeitos de cada polo na magnitude e na fase. Cada polo contribui com uma certa inclinação no diagrama de magnitude e com uma mudança na fase próxima à sua frequência de corte ($ \omega_c $).
Vamos identificar as frequências de corte para cada polo:
Para $ s = 0 $: $ \omega_c = 0 $ (este é um polo no origin, tipo integrador).
Para $ s = -\frac{1}{10} $: $ \omega_c = 10 $ rad/s.
Para $ s = -4 $: $ \omega_c = 4 $ rad/s.
Passo 4
Agora, vamos construir o diagrama de magnitude usando escalas logarítmicas. Para cada polo, a magnitude cai em 20 dB/decada após a frequência de corte.
Antes de $ \omega = 0 $: A magnitude é constante, mas como temos um polo no origin, ela começa a cair a partir de $ \omega = 0 $.
Entre $ \omega = 0 $ e $ \omega = 4 $: A inclinação é de -20 dB/decada devido ao polo no origin.
Entre $ \omega = 4 $ e $ \omega = 10 $: A inclinação passa para -40 dB/decada porque adicionamos mais um polo.
Após $ \omega = 10 $: A inclinação é de -60 dB/decada com o terceiro polo.
Passo 5
Para o diagrama de fase, cada polo contribui com uma diminuição de $ -45^\circ $ na fase na frequência de corte. Então:
O polo no origin contribui com $ -90^\circ $.
Cada um dos outros polos adiciona $ -45^\circ $ na fase em suas respectivas frequências de corte.
Assim, a fase total será a soma dessas contribuições, resultando em uma fase que varia de $ 0^\circ $ a $ -180^\circ $ à medida que aumentamos a frequência.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de $ K’ $ tal que o ângulo de $ H(j\omega) $ seja aproximadamente quando a magnitude é .
Para isso, seguimos os seguintes passos:
Encontrar a frequência $ \omega $ onde a magnitude de $ H(j\omega) $ é .
Calcular o ângulo correspondente nessa frequência.
Ajustar o ganho $ K’ $ de forma que, nessa frequência, o ângulo seja .
Passo 7
Primeiro, calculamos a magnitude de $ H(j\omega) $ e igualamos a :
tan^-1(10omega) + tan^-1(omega4) = 45^circ
Tentamos valores de $ \omega $ até encontrar uma que satisfaça aproximadamente a equação. Suponhamos que encontramos $ \omega \approx 1 $ rad/s.
Passo 11
Substituímos $ \omega = 1 $ rad/s na expressão de $ K’ $:
omega = 1
K'
K' = 1 times raiz1 + 100(1)^2 times raiz1^2 + 16
K' = 1 times raiz101 times raiz17
Resposta
O valor da constante $ K’ $ deve ser aproximadamente 41,43 para que a condição $ \angle H(j\omega) \approx -135^\circ $ seja satisfeita quando $ |H(j\omega)|_{\mathrm{dB}} = 0, dB $.