Esboce os diagramas de Bode (magnitude e fase) de cada uma das funções de transferência a seguir. Para as curvas de magnitude, mostre a aproximação assintótica e a curva exata. Para as curvas de fase, desenhe apenas as aproximações assintóticas. Em todos os gráficos, inclua todas as informações relevantes, isto é, frequências de interesse, inclinações de curvas assintóticas, valores de ganho e fase, correções a serem efetuadas, entre outros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência $ H(s) = \frac{s(s + 100)}{(s + 2)(s + 20)} $. O conteúdo envolvido aqui é de sistemas de controle, especificamente análise de frequência com o uso de diagramas de Bode. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função de transferência em seus fatores, calcular as contribuições de cada fator para a magnitude e fase, e então combinar tudo para esboçar os gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função de transferência em seus fatores. A função dada é:
Aqui, temos dois termos no numerador (
e
) e dois termos no denominador (
e
). Cada um desses termos vai influenciar o diagrama de Bode de forma diferente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para desenhar o diagrama de magnitude, a gente calcula a magnitude em decibéis (dB) para cada fator e depois soma todas as contribuições. Para a fase, calculamos o ângulo de cada fator e somamos todas as fases.
A fórmula para a magnitude em dB é:
E para a fase:
Passo 4
Vamos começar com o termo
no numerador. Na frequência $ \omega $, esse termo se torna $ j\omega $. A magnitude é $ \omega $ e a fase é $ 90^\circ $.
Já o termo
se transforma em
. Para a magnitude, usamos:
E a fase:
Passo 5
No denominador, temos os termos
e
. Esses se transformam em
e
, respectivamente.
Para
:
E para
:
Passo 6
Agora, vamos juntar todas as magnitudes. A magnitude total de $ H(j\omega) $ será:
Em dB, isso vira:
Passo 7
Para a fase, somamos as fases dos termos no numerador e subtraímos as fases dos termos no denominador:
Passo 8
Agora, vamos identificar as frequências de interesse onde cada termo começa a influenciar o diagrama assintótico. Esses pontos são chamados de “frequências de corte” e são os valores onde $ \omega $ é igual a -a de cada termo $ s + a $.
Para os termos:
- $ s $: zero em $ \omega = 0 $
- $ s + 100 $: frequência de corte em $ \omega = 100 $ rad/s
- $ s + 2 $: frequência de corte em $ \omega = 2 $ rad/s
- $ s + 20 $: frequência de corte em $ \omega = 20 $ rad/s
Passo 9
Com essas frequências de corte, podemos esboçar as aproximações assintóticas. Cada zero adiciona uma rampa de +20 dB/decada a partir da frequência de corte, enquanto cada polo adiciona uma rampa de -20 dB/decada.
Então, para a magnitude:
- O zero em $ \omega = 0 $ começa com +20 dB/decada.
- O zero em $ \omega = 100 $ adiciona mais +20 dB/decada a partir de 100 rad/s.
- O polo em $ \omega = 2 $ agrega -20 dB/decada a partir de 2 rad/s.
- O polo em $ \omega = 20 $ adiciona mais -20 dB/decada a partir de 20 rad/s.
Passo 10
Para a fase, cada zero e polo contribui com uma mudança de fase. Near each pole or zero, the phase changes by ±45° at the frequency of cutoff.
- O zero em $ \omega = 0 $ contribui com +90°.
- O zero em $ \omega = 100 $ contribui com +45° perto de 100 rad/s.
- O polo em $ \omega = 2 $ contribui com -45° perto de 2 rad/s.
- O polo em $ \omega = 20 $ contribui com -45° perto de 20 rad/s.
Resposta
Então, ao esboçar os diagramas de Bode para $ H(s) = \frac{s(s + 100)}{(s + 2)(s + 20)} $, consideramos as contribuições de cada zero e polo para a magnitude e fase. Na magnitude, somamos e subtraímos as retas assintóticas baseadas nas frequências de corte identificadas. Para a fase, aplicamos as mudanças de fase aproximadas em cada frequência de corte. Assim, os gráficos resultantes mostram como a magnitude e a fase variam com a frequência, com as curvas assintóticas e exatas de magnitude e as aproximações assintóticas de fase, incluindo todas as informações relevantes como inclinações, ganhos e correções necessárias.