Esboce os diagramas fasoriais das correntes e tensões para os seguintes circuitos:
Circuito puramente capacitivo.

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar os diagramas fasoriais das correntes e tensões para um circuito puramente capacitivo.
Informações/assunções que vamos usar (não foi pedido, mas são padrão para fasores): a fonte é senoidal em regime permanente com frequência angular \omega; o elemento presente é um capacitor de capacitância C. Não há mais elementos no circuito.

Passo 2

Relembrando a relação tempo-domínio entre tensão e corrente no capacitor (a fórmula fundamental que vamos usar). Para um capacitor valem:
i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Aqui:
  • i(t) é a corrente instantânea no capacitor (A);
  • v(t) é a tensão instantânea no capacitor (V);
  • C é a capacitância (F);
  • \dfrac{d}{dt} é a derivada temporal.
Isso significa: a corrente é proporcional à derivada da tensão — a corrente “responde mais rápido” à variação da tensão.

Passo 3

Aplicando uma tensão senoidal típica e calculando a corrente para ver o desfasamento. Seja
v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi_v),
onde V_m é a amplitude, \omega é a frequência angular e \varphi_v é a fase da tensão. Derivando:
i(t)=C\frac{d}{dt}\bigl(V_m\sin(\omega t+\varphi_v)\bigr) = C V_m \omega \cos(\omega t+\varphi_v).
Usando \cos(\theta)=\sin(\theta+90^\circ) obtemos
i(t)=\omega C V_m \sin(\omega t+\varphi_v+90^\circ).
Interpretação: a corrente tem a mesma forma senoidal, mesma frequência, amplitude \omega C V_m e fase \varphi_v+90^\circ. Portanto a corrente antecipa a tensão em 90^\circ.

Passo 4

Passando ao mundo dos fasores (representação complexa útil em AC). Definições úteis:
\underline{V}=V\angle\varphi_v,\qquad \underline{I}=I\angle\varphi_i,
onde \underline{V} e \underline{I} são os fasores (valores complexos), V e I são as amplitudes e \varphi_v,\varphi_i as fases. Impedância do capacitor:
Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}=-jX_C,
com
X_C=\frac{1}{\omega C}
o valor absoluto da reatância capacitiva (em ohms). A relação fasorial entre tensão e corrente é
\underline{V}=\underline{I}\,Z_C.

Passo 5

Deduzindo o desfasamento com a impedância. Como Z_C=-jX_C (um fator multiplicativo -j):
  • Multiplicar um fasor por j corresponde a girar o fasor +90^\circ (contra‑horário).
  • Multiplicar por -j corresponde a girar o fasor -90^\circ (horário).
Da relação \underline{V}=\underline{I}(-jX_C) segue que a fase de \underline{V} é a fase de \underline{I} menos 90^\circ:
\varphi_v=\varphi_i-90^\circ.
Equivalentemente, isolando \underline{I}:
\underline{I}=\underline{V}\,j\omega C,
o que dá \varphi_i=\varphi_v+90^\circ. Em palavras: a corrente está adiantada 90^\circ em relação à tensão.

Passo 6

Como montar/esboçar o diagrama fasorial passo a passo (duas convenções úteis):
  • Convenção A — tomar a tensão como referência: coloque \underline{V} ao longo do eixo real positivo, isto é \underline{V}=V\angle 0^\circ. Então desenhe a corrente como \underline{I}=I\angle 90^\circ, ou seja, uma seta vertical apontando para cima (e de comprimento proporcional à amplitude I). O comprimento relativo deve respeitar |V|=X_C\,|I| (pois |Z_C|=X_C).
  • Convenção B — tomar a corrente como referência: coloque \underline{I}=I\angle 0^\circ no eixo real positivo. Então desenhe \underline{V}=V\angle -90^\circ, ou seja, uma seta apontando para baixo (90° atrás). Novamente, |V|=X_C\,|I|.
No plano complexo (eixo horizontal = parte real, eixo vertical = parte imaginária positiva para cima), as setas ficam exatamente nessas posições.

Passo 7

Relação de magnitudes (para dimensionar os comprimentos no esboço):
|Z_C|=X_C=\frac{1}{\omega C},\qquad |V|=X_C\,|I|.
Exemplo numérico rápido para ver como fica o comprimento: se \omega=1000\\ \text{rad/s} e C=1\\ \mu\text{F} então X_C=1000\\ \Omega. Para I=1\\ \text{mA} tem-se V=1\\ \text{V}. No diagrama, a seta de tensão terá comprimento 1000 vezes a seta de corrente se as unidades não forem ajustadas — por isso, em esboços costuma-se representar comprimentos em escala conveniente, mantendo apenas a razão entre eles.

Passo 8

Resumo visual do que desenhar (checklist para o esboço):
  • Desenhar eixos Real (horizontal) e Imaginário j (vertical, positivo para cima).
  • Escolher referência ( \underline{V} ou \underline{I}).
  • Se \underline{V} referência: desenhar \underline{V}=V\angle 0^\circ no eixo real + e \underline{I}=I\angle 90^\circ no eixo imag +.
  • Se \underline{I} referência: desenhar \underline{I}=I\angle 0^\circ no eixo real + e \underline{V}=V\angle -90^\circ no eixo imag -.
  • Indicar magnitudes com comprimentos proporcionais obedecendo |V|=X_C|I|.

Resposta

A corrente adianta a tensão de 90^\circ. Em fasores (tomando a tensão como referência): \underline{V}=V\angle 0^\circ e \underline{I}=I\angle 90^\circ, com |V|=X_C\,|I| e X_C=\dfrac{1}{\omega C}.

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