5- A impedância equivalente de um circuito de corrente alternada é dada pela equação abaixo, determine:
a- A(s) freqüência(s) com em que a corrente está em fase com a tensão.
b- Calcule a impedância com a(s) freqüência(s) da letra “a”.
c- Para qual valor de frequiência a impedância equivalente se torna capacitiva?
Z_{\text {eq }}=\frac{1000}{0.01 \omega^{2}+1}+j\left(\frac{0.04 \omega^{3}-96 \omega}{0.01 \omega^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a impedância equivalente em função da pulsação \omega:
Z_{\text{eq}}=\frac{1000}{0{,}01\,\omega^{2}+1}+j\left(\frac{0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega}{0{,}01\,\omega^{2}+1}\right).
Pede:
a) a(s) frequência(s) em que a corrente está em fase com a tensão;
b) a impedância para essas frequência(s);
c) para que valor de frequência a impedância se torna capacitiva.
Informações relevantes dadas:
  • A parte real de Z_{\text{eq}} é \displaystyle \Re\{Z_{\text{eq}}\}=\frac{1000}{0{,}01\,\omega^{2}+1}.
  • A parte imaginária de Z_{\text{eq}} é \displaystyle \Im\{Z_{\text{eq}}\}=\frac{0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega}{0{,}01\,\omega^{2}+1}.
  • \omega é a pulsação (angular frequency), em \mathrm{rad/s}. A frequência em hertz é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando a corrente está em fase com a tensão, o ângulo de fase entre tensão e corrente é zero — isto acontece quando a impedância é puramente real, ou seja, quando a parte imaginária de Z_{\text{eq}} é zero:
\Im\{Z_{\text{eq}}\}=0.
Como o denominador 0{,}01\,\omega^{2}+1 é sempre positivo (é >0 para todo \omega), a condição \Im\{Z_{\text{eq}}\}=0 equivale a zerar apenas o numerador da parte imaginária:
0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega=0.
Vou resolver essa equação passo a passo.

Passo 3

Resolver \;0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega=0.
Fatorando \omega:
0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega = 0{,}04\,\omega\bigl(\omega^{2}-2400\bigr).
Portanto as soluções são as raízes de cada fator:
0{,}04\,\omega=0 \quad\Rightarrow\quad \omega=0,
\omega^{2}-2400=0 \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=2400 \quad\Rightarrow\quad \omega=\pm\sqrt{2400}.
Como \omega representa pulsação física, considera-se \omega\ge 0. Então as pulsações obtidas são
\omega=0 \quad\text{e}\quad \omega=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}\approx 48{,}9898\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Explicação prática: normalmente em problemas de CA a solução \omega=0 corresponde a corrente contínua (DC). A outra solução \omega=20\sqrt{6} é uma pulsação positiva útil para CA.
Agora calculo a impedância Z_{\text{eq}} nesses valores (parte b).
Para \omega=0:
  • Denominador 0{,}01\cdot 0^{2}+1=1.
  • Parte real: \displaystyle \Re\{Z_{\text{eq}}\}=\frac{1000}{1}=1000\\ \Omega.
  • Parte imaginária: já sabemos que é zero.
    Logo
Z_{\text{eq}}(\omega=0)=1000\\ \Omega \quad(\text{puro resistivo}).
Para \omega=20\sqrt{6} (usar \omega^{2}=2400):
  • Denominador 0{,}01\cdot 2400 +1 = 24 + 1 = 25.
  • Parte real: \displaystyle \Re\{Z_{\text{eq}}\}=\frac{1000}{25}=40\\ \Omega.
  • Parte imaginária: a condição anterior garante \Im\{Z_{\text{eq}}\}=0.
    Logo
Z_{\text{eq}}\bigl(\omega=20\sqrt{6}\bigr)=40\\ \Omega \quad(\text{puro resistivo}).

Passo 5

Agora a letra (c): quando a impedância é capacitiva?
Conceito curto: uma impedância é capacitiva quando a sua parte imaginária é negativa (ângulo de impedância negativo), isto é \Im\{Z_{\text{eq}}\}<0. Como o denominador 0{,}01\,\omega^{2}+1>0, o sinal de \Im\{Z_{\text{eq}}\} é o mesmo do numerador
N(\omega)\equiv 0{,}04\,\omega^{3}-96\,\omega = 0{,}04\,\omega\bigl(\omega^{2}-2400\bigr).
Análise de sinais para \omega\ge 0:
  • Em \omega=0: N(0)=0.
  • Para 0<\omega<\sqrt{2400}=20\sqrt{6}: tem-se \omega>0 e \omega^{2}-2400<0, logo N(\omega)<0 \Im\{Z_{\text{eq}}\}<0 → comportamento capacitivo.
  • Em \omega=20\sqrt{6}: N=0 (resistivo).
  • Para \omega>20\sqrt{6}: \omega^{2}-2400>0 e N(\omega)>0 \Im\{Z_{\text{eq}}\}>0 → comportamento indutivo.
Portanto a impedância é capacitiva para
0<\omega<20\sqrt{6}\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{o intervalo onde a parte imaginária é negativa}).áé
Opcional: converter para hertz a pulsação crítica \omega=20\sqrt{6}:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{20\sqrt{6}}{2\pi}=\frac{10\sqrt{6}}{\pi}\approx 7{,}80\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

a) \omega=0 e \omega=20\sqrt{6}\approx 48{,}9898\\ \mathrm{rad/s}.
b) Z_{\text{eq}}(\omega=0)=1000\\ \Omega.
b) Z_{\text{eq}}\bigl(\omega=20\sqrt{6}\bigr)=40\\ \Omega.
c) Z_{\text{eq}} é capacitiva para 0<\omega<20\sqrt{6}\\ \mathrm{rad/s} (ou 0<f<\dfrac{10\sqrt{6}}{\pi}\approx 7{,}80\\ \mathrm{Hz}).

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