5- A impedância equivalente de um circuito de corrente alternada é dada pela equação abaixo, determine:
a- A(s) freqüência(s) com em que a corrente está em fase com a tensão.
b- Calcule a impedância com a(s) freqüência(s) da letra “a”.
c- Para qual valor de frequiência a impedância equivalente se torna capacitiva?
a- A(s) freqüência(s) com em que a corrente está em fase com a tensão.
b- Calcule a impedância com a(s) freqüência(s) da letra “a”.
c- Para qual valor de frequiência a impedância equivalente se torna capacitiva?
Passo 1
O enunciado dá a impedância equivalente em função da pulsação
:
Pede:
a) a(s) frequência(s) em que a corrente está em fase com a tensão;
b) a impedância para essas frequência(s);
c) para que valor de frequência a impedância se torna capacitiva.
a) a(s) frequência(s) em que a corrente está em fase com a tensão;
b) a impedância para essas frequência(s);
c) para que valor de frequência a impedância se torna capacitiva.
Informações relevantes dadas:
- A parte real de
é . - A parte imaginária de
é . -
é a pulsação (angular frequency), em . A frequência em hertz é .
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): quando a corrente está em fase com a tensão, o ângulo de fase entre tensão e corrente é zero — isto acontece quando a impedância é puramente real, ou seja, quando a parte imaginária de
é zero:
Como o denominador
é sempre positivo (é
para todo
), a condição
equivale a zerar apenas o numerador da parte imaginária:
Vou resolver essa equação passo a passo.
Passo 3
Resolver
.
Fatorando
:
Portanto as soluções são as raízes de cada fator:
Como
representa pulsação física, considera-se
. Então as pulsações obtidas são
Passo 4
Explicação prática: normalmente em problemas de CA a solução
corresponde a corrente contínua (DC). A outra solução
é uma pulsação positiva útil para CA.
Agora calculo a impedância
nesses valores (parte b).
Para
:
- Denominador
. - Parte real:
. - Parte imaginária: já sabemos que é zero.
Logo
Para
(usar
):
- Denominador
. - Parte real:
. - Parte imaginária: a condição anterior garante
.
Logo
Passo 5
Agora a letra (c): quando a impedância é capacitiva?
Conceito curto: uma impedância é capacitiva quando a sua parte imaginária é negativa (ângulo de impedância negativo), isto é
. Como o denominador
, o sinal de
é o mesmo do numerador
Análise de sinais para
:
- Em
: . - Para
: tem-se e , logo → → comportamento capacitivo. - Em
: (resistivo). - Para
: e → → comportamento indutivo.
Portanto a impedância é capacitiva para
Opcional: converter para hertz a pulsação crítica
:
Resposta
a)
e
b)
b)
c) é capacitiva para
(ou
).
b)
b)
c)