Esboce o domínio e inverta a ordem de integração.
Passo 1
O exercício nos dá a integral
. O conteúdo é integração dupla sobre uma região
no plano
, e precisamos: esboçar
e trocar a ordem de integração.
Passo 2
Para esboçar o domínio
, note as curvas
e
no intervalo
. Em
, temos
e
; em
, ambas valem
. O domínio é a região entre essas curvas, limitadas pelas retas verticais
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro determinamos o intervalo de
em
. O valor mínimo de
é
e o máximo é
. Logo
.
Passo 4
Em seguida, para um dado
em
, encontramos os valores de
que satisfazem
Da condição
, segue
(pois
é crescente em
).
Da condição , segue
(pois
é decrescente em
).
Como também , então
Da condição
Como também
Passo 5
Precisamos ver onde trocar
e
como mínimo. Resolva
,: isso dá
. Para
, tem-se
, logo
Para
, tem-se
, logo