Esboce o domínio e inverta a ordem de integração.
integral0^pi / 4 integralsin (x)^cos (x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O exercício nos dá a integral integral0^pi/4integralsin(x)^cos(x)f(x,y),dy,dx. O conteúdo é integração dupla sobre uma região D no plano (x,y), e precisamos: esboçar D e trocar a ordem de integração.

Passo 2

Para esboçar o domínio D, note as curvas y=sin(x) e y=cos(x) no intervalo 0<= x<=pi/4. Em x=0, temos sin0=0 e cos0=1; em x=pi/4, ambas valem tfracraiz22. O domínio é a região entre essas curvas, limitadas pelas retas verticais x=0 e x=pi/4.

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro determinamos o intervalo de y em D. O valor mínimo de y é sin0=0 e o máximo é cos0=1. Logo 0<= y<=1.

Passo 4

Em seguida, para um dado y em [0,1], encontramos os valores de x que satisfazem
sin(x)<= y<= cos(x), 0<= x<= tfracpi4
Da condição sin(x)<= y, segue x<=arcsin(y) (pois sin é crescente em [0,pi/2]).
Da condição y<=cos(x), segue x<=arccos(y) (pois cos é decrescente em [0,pi]).
Como também x>=0, então
0<= x<= minl(arcsin(y),,arccos(y)r)

Passo 5

Precisamos ver onde trocar arcsin(y) e arccos(y) como mínimo. Resolva arcsin(y)=arccos(y),: isso dá y=tfracraiz22. Para 0<= y<=tfracraiz22, tem-se arcsin(y)<=arccos(y), logo
0<= x<= arcsin(y)
Para tfracraiz22<= y<=1, tem-se arccos(y)<=arcsin(y), logo
0<= x<= arccos(y)

Resposta

integral0^raiz22integral0^arcsin(y)f(x,y),dx,dy +integralraiz22^1integral0^arccos(y)f(x,y),dx,dy

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