A partir da função dada abaixo, faça o que se pede.
Se
, através do processo utilizado para determinar inversas, determine que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma função complicada:
E pede para a gente encontrar a função inversa dessa função, ou seja, $ f^{-1}(y) $. Isso está relacionado ao estudo de funções inversas, que basicamente nos permite “desfazer” a função original. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, além das técnicas para encontrar funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa encontrar a função inversa. Se $ f(x) = y $, então $ f^{-1}(y) = x $. Então, nosso objetivo é isolar $ x $ na equação $ f(x) = y $.
Começamos substituindo $ f(x) $ por $ y $:
Passo 3
Para facilitar, vamos “desfazer” a função $ \arctan $. Sabemos que se $ y = \arctan(z) $, então $ z = \tan(y) $. Aplicando isso na nossa equação:
Aqui, usamos a propriedade da função arco-tangente que permite reverter a operação aplicando a tangente nos dois lados.
Passo 4
Agora, vamos isolar o logaritmo. Subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 5
Para eliminar o logaritmo, usamos a propriedade que diz $ \ln(a) = b $ implica $ a = e^{b} $. Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando a expressão do lado direito:
Passo 7
Queremos isolar $ x $. Subtraímos $ e^{2} + 1 $ de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Podemos reescrever $ e^{2(1 - \tan(y))} $ como $ e^{2} \cdot e^{-2 \tan(y)} $:
Fatorando $ e^{2} $: