A partir da função dada abaixo, faça o que se pede.
f(x)=arctan [1-ln (raize^2+1-x)]
Se f(x)=y, através do processo utilizado para determinar inversas, determine que
f^-1(y)=e^2 cdot(1-e^-2 tan y)+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma função complicada:
f(x) = arctan [1 - ln ( raize^2 + 1 - x ) ]
E pede para a gente encontrar a função inversa dessa função, ou seja, $ f^{-1}(y) $. Isso está relacionado ao estudo de funções inversas, que basicamente nos permite “desfazer” a função original. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, além das técnicas para encontrar funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa encontrar a função inversa. Se $ f(x) = y $, então $ f^{-1}(y) = x $. Então, nosso objetivo é isolar $ x $ na equação $ f(x) = y $.
Começamos substituindo $ f(x) $ por $ y $:
f(x) = y

Passo 3

Para facilitar, vamos “desfazer” a função $ \arctan $. Sabemos que se $ y = \arctan(z) $, então $ z = \tan(y) $. Aplicando isso na nossa equação:
arctan
Aqui, usamos a propriedade da função arco-tangente que permite reverter a operação aplicando a tangente nos dois lados.

Passo 4

Agora, vamos isolar o logaritmo. Subtraímos 1 de ambos os lados:
- ln ( raize^2 + 1 - x ) = tan(y) - 1
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
ln ( raize^2 + 1 - x ) = 1 - tan(y)

Passo 5

Para eliminar o logaritmo, usamos a propriedade que diz $ \ln(a) = b $ implica $ a = e^{b} $. Aplicando isso:
ln(a) = b

Passo 6

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
e^2 + 1 - x = ( e^1 - tan(y) )^2
Simplificando a expressão do lado direito:
e^2 + 1 - x = e^2(1 - tan(y))

Passo 7

Queremos isolar $ x $. Subtraímos $ e^{2} + 1 $ de ambos os lados:
x
Multiplicamos ambos os lados por -1:
e^2 + 1

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
x = e^2 + 1 - e^2(1 - tan(y))
Podemos reescrever $ e^{2(1 - \tan(y))} $ como $ e^{2} \cdot e^{-2 \tan(y)} $:
e^2(1 - tan(y))
Fatorando $ e^{2} $:
e^2 cdot e^-2 tan(y)

Resposta

f^-1(y) = e^2 cdot (1 - e^-2 tan y) + 1

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