Esboce as figuras determinadas pelas seguintes equações em coordenadas polares:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar curvas em coordenadas polares dadas por (a) r = 8 cos 3θ, (b) r = 8|cos 3θ|, © r = 2 sen 4θ e (d) r = 2 sec θ com θ ∈ [π/6, π/3]. Vamos usar o conceito de “rosas” polares e a relação entre r e x, y para traçar essas curvas.
Passo 2
Em curvas do tipo r = a cos(nθ) ou r = a sen(nθ), chamadas rosas, o número de pétalas é n se n é ímpar e 2n se n é par. O comprimento de cada pétala é |a|. Para r = a cos(nθ), a primeira pétala está centrada em θ = 0; para r = a sen(nθ), a primeira pétala está em θ tal que nθ = π/2.
Passo 3
Para (a) temos r = 8 cos 3θ com n = 3 (ímpar) e a = 8. Logo são 3 pétalas de comprimento 8. Os eixos de simetria ocorrem quando cos 3θ atinge +1, ou seja 3θ = 0, 2π, 4π. Assim as pétalas ficam centradas em θ = 0, 2π/3, 4π/3. O esboço é uma rosa de 3 pétalas iguais apontando nessas direções.
Passo 4
Para (b) o valor absoluto transforma quaisquer valores negativos de r em positivos, refletindo as pétalas extras. Assim r = 8|cos 3θ| produz 2·3 = 6 pétalas de comprimento 8. As direções das pétalas vêm de cos 3θ = ±1, i.e. 3θ = kπ com k = 0,1,2,3,4,5, resultando em θ = 0, π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3.
Passo 5
Para © temos r = 2 sen 4θ com n = 4 (par) e a = 2. Logo surgem 2·4 = 8 pétalas, cada uma de comprimento 2. A primeira pétala ocorre quando sen 4θ = 1, ou seja 4θ = π/2 ⇒ θ = π/8. As pétalas seguintes aparecem a cada incremento de π/4.
Passo 6
Para (d) r = 2 sec θ implica r cos θ = 2, ou seja x = 2. Portanto a curva é a reta vertical x = 2. Como θ varia em [π/6, π/3], o segmento vai de y = r sin θ = 2 tan θ com θ = π/6 até θ = π/3. Assim y varia de 2 tan(π/6) = 2√3/3 até 2 tan(π/3) = 2√3.
Passo 7
Em resumo, os esboços são: rosas de 3 pétalas (a), 6 pétalas (b) e 8 pétalas ©, além de um segmento de reta vertical em x = 2 entre y = 2√3/3 e y = 2√3 (d).
Resposta
(a) Rosa de 3 pétalas de comprimento 8, centradas em θ = 0, 2π/3 e 4π/3. (b) Rosa de 6 pétalas de comprimento 8, centradas em θ = kπ/3, k = 0,1,…,5. © Rosa de 8 pétalas de comprimento 2, primeira pétala em θ = π/8 e espaçamento π/4. (d) Segmento da reta x = 2 para y variando de 2√3/3 (θ=π/6) até 2√3 (θ=π/3).