Seja alpha: R R^3 uma curva suave tal que |alpha^prime(t)|=1, tau(t)<0 e B(t)=1 / raiz2(sen t,-cos t, 1),(t in R).
(a) Use as fórmulas de Frenet para determinar a torção e a curvatura de alpha.
(b) Determine o vetor T(t) e a expressão de alpha sabendo que alpha(0)=(1 / raiz2, 0,0).
© Para cada t in R, determine a equação do plano osculador à curva no ponto alpha(t).

Passo 1

O enunciado pede (a) calcular a curvatura κ(t) e a torção τ(t) usando as fórmulas de Frenet para curva de velocidade unitária, sabendo que B(t)= tfrac1raiz2(sin t,-cos t,1) e τ(t)<0; (b) achar o vetor tangente T(t) e integrar para obter α(t) com α(0) dado; © escrever a equação do plano osculador, cujo vetor normal é B(t).

Passo 2

Para (a), calculamos B’(t):
B'(t)=1raiz2(cos t,sin t,0)
Como na fórmula de Frenet B'= -tau,N e N é unitário, temos
|B'(t)|=|tau(t)|=1raiz2
Como nos foi dado τ(t)<0, concluímos
tau(t)=-1raiz2

Passo 3

Ainda em (a), para achar κ, usamos que em curva unitária T'=kappa,N e que o binormal girando uniformemente indica curva de torção e curvatura constantes. Mais simplesmente, de um círculo helicoidal padrão obtém-se também κ constante do mesmo valor de |τ|. Logo:
kappa(t)=1raiz2

Passo 4

Para (b), encontramos N a partir de N=-tfrac1tauB'. Substituindo tau=-1/raiz2 e B' de cima, dá
N(t)=(cos t,sin t,0)
Em seguida, o vetor tangente é
T(t)=B(t)times N(t)=l(-tfracsin traiz2,tfraccos traiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 5

Ainda em (b), como T=alpha', integramos para achar α:
alpha(t)=integral T(t),dt=(tfrac1raiz2cos t,,tfrac1raiz2sin t,,tfrac1raiz2t)+C
Impondo alpha(0)=(1/raiz2,0,0), obtemos C=(0,0,0). Então
alpha(t)=l(tfraccos traiz2,,tfracsin traiz2,,tfrac traiz2r)

Passo 6

Para ©, o plano osculador em α(t) tem normal B(t), então sua equação é
B(t)cdotl((x,y,z)-alpha(t)r)=0
Substituindo, multiplicando por √2 e simplificando, resulta
sin t,x-cos t,y+z- traiz2=0

Resposta

(a) kappa=1/raiz2,;tau=-1/raiz2 (b) T(t)=(-tfracsin traiz2,tfraccos traiz2,tfrac1raiz2),;alpha(t)=(tfraccos traiz2,tfracsin traiz2,tfrac traiz2) © Osculador: sin t,x-cos t,y+z-tfrac traiz2=0

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