Seja
uma curva suave tal que
e
.
(a) Use as fórmulas de Frenet para determinar a torção e a curvatura de
.
(b) Determine o vetor
e a expressão de
sabendo que
.
© Para cada
, determine a equação do plano osculador à curva no ponto
.
(a) Use as fórmulas de Frenet para determinar a torção e a curvatura de
(b) Determine o vetor
© Para cada
Passo 1
O enunciado pede (a) calcular a curvatura κ(t) e a torção τ(t) usando as fórmulas de Frenet para curva de velocidade unitária, sabendo que B(t)=
e τ(t)<0; (b) achar o vetor tangente T(t) e integrar para obter α(t) com α(0) dado; © escrever a equação do plano osculador, cujo vetor normal é B(t).
Passo 2
Para (a), calculamos B’(t):
Como na fórmula de Frenet
e
é unitário, temos
Como nos foi dado τ(t)<0, concluímos
Passo 3
Ainda em (a), para achar κ, usamos que em curva unitária
e que o binormal girando uniformemente indica curva de torção e curvatura constantes. Mais simplesmente, de um círculo helicoidal padrão obtém-se também κ constante do mesmo valor de |τ|. Logo:
Passo 4
Para (b), encontramos N a partir de
. Substituindo
e
de cima, dá
Em seguida, o vetor tangente é
Passo 5
Ainda em (b), como
, integramos para achar α:
Impondo
, obtemos
. Então
Passo 6
Para ©, o plano osculador em α(t) tem normal B(t), então sua equação é
Substituindo, multiplicando por √2 e simplificando, resulta
Resposta
(a)
(b)
© Osculador: