Esboce o gráfico de f e ache cada limite se existir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x-1|, x \neq 1 \\\\ 1, x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} |x-1|, & x\neq1,\\\\ 1, & x=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é limites laterais e continuidade num ponto em que há definição “esquisita”. Vamos usar a propriedade de valor absoluto e a definição de limite.

Passo 2

Para manipular |x-1| em cada região, escrevemos
|x-1|= \begin{cases} 1 - x, & x<1,\\\ x - 1, & x>1. \end{cases}

Passo 3

O esboço do gráfico é um “V” com vértice em (1,0), mas:
  1. Nas duas retas y=1-x (para x<1) e y=x-1 (para x>1) há um círculo aberto em (1,0).
  2. Em x=1 a função vale f(1)=1, ponto isolado em (1,1).

Passo 4

Calculamos o limite pela esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(1-x) =1-1 =0.

Passo 5

Calculamos o limite pela direita em x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(x-1) =1-1 =0.

Passo 6

Como os limites laterais coincidem, existe o limite em x=1 e
\lim_{x\to1}f(x)=0.

Passo 7

Entretanto, f(1)=1\neq0, logo f é descontínua em x=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=0, \displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=0, \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=0.

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