Esboce o gráfico de f e ache cada limite se existir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x<1 \\\\ 1, x=1 \\\ x+1, x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x<1,\\\\ 1, & x=1,\\\ x+1, & x>1. \end{cases}
O objetivo é esboçar o gráfico e calcular os limites em x=1: \lim_{x\to1^-}f(x), \lim_{x\to1^+}f(x) e, se existir, \lim_{x\to1}f(x).

Passo 2

Para esboçar o gráfico:
– Para x<1, a curva é a parábola y=x^{2}+1. Em x=1 essa parábola atinge y=1^{2}+1=2, mas como vale só para x<1, marcamos um círculo aberto em (1,2).
– Em x=1, a função vale f(1)=1, ponto sólido em (1,1).
– Para x>1, a curva é a reta y=x+1. Em x=1 essa reta valeria 1+1=2, mas como vale só para x>1, marcamos outro círculo aberto em (1,2).

Passo 3

Calcular \lim_{x\to1^-}f(x). Como x\to1 pela esquerda usamos f(x)=x^{2}+1, logo
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(x^{2}+1) =1^{2}+1 =2.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to1^+}f(x). Como x\to1 pela direita usamos f(x)=x+1, logo
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(x+1) =1+1 =2.

Passo 5

Como \lim_{x\to1^-}f(x)=2 e \lim_{x\to1^+}f(x)=2, temos
\lim_{x\to1}f(x)=2.
Entretanto, f(1)=1\neq2, então f é descontínua em x=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=2.
Esboço: parábola y=x^{2}+1 para x<1 com círculo aberto em (1,2); ponto sólido em (1,1); reta y=x+1 para x>1 com círculo aberto em (1,2).

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