O objetivo é esboçar o gráfico e calcular os limites em x=1: \lim_{x\to1^-}f(x), \lim_{x\to1^+}f(x) e, se existir, \lim_{x\to1}f(x).
Passo 2
Para esboçar o gráfico:
– Para x<1, a curva é a parábola y=x^{2}+1. Em x=1 essa parábola atinge y=1^{2}+1=2, mas como vale só para x<1, marcamos um círculo aberto em (1,2).
– Em x=1, a função vale f(1)=1, ponto sólido em (1,1).
– Para x>1, a curva é a reta y=x+1. Em x=1 essa reta valeria 1+1=2, mas como vale só para x>1, marcamos outro círculo aberto em (1,2).
Passo 3
Calcular \lim_{x\to1^-}f(x). Como x\to1 pela esquerda usamos f(x)=x^{2}+1, logo
Calcular \lim_{x\to1^+}f(x). Como x\to1 pela direita usamos f(x)=x+1, logo
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(x+1) =1+1 =2.
Passo 5
Como \lim_{x\to1^-}f(x)=2 e \lim_{x\to1^+}f(x)=2, temos
\lim_{x\to1}f(x)=2.
Entretanto, f(1)=1\neq2, então f é descontínua em x=1.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=2.
Esboço: parábola y=x^{2}+1 para x<1 com círculo aberto em (1,2); ponto sólido em (1,1); reta y=x+1 para x>1 com círculo aberto em (1,2).