Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva dada pela parametrização
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função vetorial é
com componentes
- Não há restrição explícita para
, então . - A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Interpretar o que é essa curva: uma parametrização em
com três componentes é, em geral, uma curva no espaço. Para verificar se é uma reta, vamos extrair o vetor diretor e um ponto qualquer da curva a partir das componentes.
Cada componente é uma função afim de
. Comparando com a forma ponto +
vezes vetor diretor, escrevemos
como
Explicando: escolhi separar a parte independente de
como o ponto
e a parte multiplicada por
como o vetor
. Isso é legítimo porque
Passo 3
Conclusão dessa observação (aula rápida de conceito):
- Uma parametrização da forma
, com fixo e fixo, descreve uma reta que passa por e tem direção . - Aqui então a curva é uma reta no espaço que passa pelo ponto
e tem vetor diretor .
Passo 4
Obtenha formas alternativas que ajudam no esboço (eliminar
e escrever equações cartesianas):
- Da componente
temos . - Substituindo em
obtemos . - Substituindo em
obtemos .
Portanto, a reta também pode ser descrita como interseção das duas superfícies planas
Isto é útil porque dá duas equações lineares em
que definem uma reta em
.
Passo 5
Escreva a forma simétrica (útil para reconhecer direção visualmente):
A partir de ,
,
podemos escrever
A partir de
Que normalmente simplificamos para
Isto mostra diretamente que o vetor diretor é
e que um ponto conhecido na reta é
.
Passo 6
Escolha pontos concretos para desenhar (útil no esboço à mão):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Explique a utilidade: plotar esses três pontos no sistema de coordenadas 3D e traçar a reta que passa por eles dá o esboço desejado. Três pontos não colineares não são necessários aqui — eles são colineares porque pertencem à mesma reta — mas servem para posicionar a reta no espaço.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido durante a prova ou num rascunho):
- Desenhe os eixos
, e com o convencional: para a direita, para cima-esquerda no plano do papel e saindo para cima (ou use um desenho oblíquo). - Marque o ponto
: está no plano (eixo ), à distância na direção positiva de . - Marque o ponto
: um passo de em , de em e de em em relação ao ponto anterior (siga o vetor diretor ). - Marque o ponto
: continue seguindo o vetor diretor. - Una os pontos com uma linha reta e estenda-a em ambas as direções; coloque setas se quiser indicar que é para todo
.
Dica geométrica rápida: a projeção dessa reta no plano
é a reta
(uma reta inclinada passando pela origem) e sua projeção no plano
é a reta
. Essas projeções ajudam a posicionar a reta no espaço.
Passo 8
Resumo final e interpretação física/amigável:
- A curva é uma reta em
. - Para fazer o esboço, basta saber um ponto e o vetor diretor; já os temos e com os três pontos calculados você consegue desenhar rapidamente uma boa aproximação à mão.
- Se precisar de uma descrição algébrica compacta, use qualquer uma das formas que obtivemos (paramétrica, simétrica ou como interseção de planos).
Resposta
A curva é a reta que passa por
com vetor diretor
.
Equações paramétricas:
Forma simétrica:
Equações cartesiana (interseção de planos): e
Equações paramétricas:
Forma simétrica:
Equações cartesiana (interseção de planos):