Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
\vec{\alpha}(t)=(t, 2-t, 2 t)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva dada pela parametrização \vec{\alpha}(t)=(t,\,2-t,\,2t).
Informações dadas:
  • A função vetorial é \vec{\alpha}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 com componentes
x(t)=t,\qquad y(t)=2-t,\qquad z(t)=2t.
  • Não há restrição explícita para t, então t\in\mathbb{R}.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Interpretar o que é essa curva: uma parametrização em \mathbb{R}^3 com três componentes é, em geral, uma curva no espaço. Para verificar se é uma reta, vamos extrair o vetor diretor e um ponto qualquer da curva a partir das componentes.
Cada componente é uma função afim de t. Comparando com a forma ponto + t vezes vetor diretor, escrevemos \vec{\alpha}(t) como
\vec{\alpha}(t) = (t,\,2-t,\,2t) = (0,\,2,\,0) + t\,(1,\,-1,\,2).
Explicando: escolhi separar a parte independente de t como o ponto (0,2,0) e a parte multiplicada por t como o vetor (1,-1,2). Isso é legítimo porque
(0,2,0) + t(1,-1,2) = (0+t,\,2 - t,\,0+2t) = (t,\,2-t,\,2t).

Passo 3

Conclusão dessa observação (aula rápida de conceito):
  • Uma parametrização da forma \vec{r}(t)=\vec{p}+t\vec{v}, com \vec{p} fixo e \vec{v} fixo, descreve uma reta que passa por \vec{p} e tem direção \vec{v}.
  • Aqui então a curva é uma reta no espaço que passa pelo ponto \vec{p}=(0,2,0) e tem vetor diretor \vec{v}=(1,-1,2).

Passo 4

Obtenha formas alternativas que ajudam no esboço (eliminar t e escrever equações cartesianas):
  • Da componente x(t)=t temos \,t=x.
  • Substituindo em z(t)=2t obtemos \,z=2x.
  • Substituindo em y(t)=2-t obtemos \,y=2-x.
Portanto, a reta também pode ser descrita como interseção das duas superfícies planas
z=2x \qquad\text{e}\qquad x+y=2.
Isto é útil porque dá duas equações lineares em x,y,z que definem uma reta em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Escreva a forma simétrica (útil para reconhecer direção visualmente):
A partir de x=t, y=2-t, z=2t podemos escrever
\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-0}{2}=t.
Que normalmente simplificamos para
\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{2}.
Isto mostra diretamente que o vetor diretor é (1,-1,2) e que um ponto conhecido na reta é (0,2,0).

Passo 6

Escolha pontos concretos para desenhar (útil no esboço à mão):
  • Para t=0: \vec{\alpha}(0)=(0,2,0).
  • Para t=1: \vec{\alpha}(1)=(1,1,2).
  • Para t=2: \vec{\alpha}(2)=(2,0,4).
Explique a utilidade: plotar esses três pontos no sistema de coordenadas 3D e traçar a reta que passa por eles dá o esboço desejado. Três pontos não colineares não são necessários aqui — eles são colineares porque pertencem à mesma reta — mas servem para posicionar a reta no espaço.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido durante a prova ou num rascunho):
  1. Desenhe os eixos x, y e z com o convencional: x para a direita, y para cima-esquerda no plano do papel e z saindo para cima (ou use um desenho oblíquo).
  2. Marque o ponto (0,2,0): está no plano z=0 (eixo xy), à distância 2 na direção positiva de y.
  3. Marque o ponto (1,1,2): um passo de +1 em x, de -1 em y e de +2 em z em relação ao ponto anterior (siga o vetor diretor (1,-1,2)).
  4. Marque o ponto (2,0,4): continue seguindo o vetor diretor.
  5. Una os pontos com uma linha reta e estenda-a em ambas as direções; coloque setas se quiser indicar que é para todo t\in\mathbb{R}.
Dica geométrica rápida: a projeção dessa reta no plano xz é a reta z=2x (uma reta inclinada passando pela origem) e sua projeção no plano xy é a reta x+y=2. Essas projeções ajudam a posicionar a reta no espaço.

Passo 8

Resumo final e interpretação física/amigável:
  • A curva é uma reta em \mathbb{R}^3.
  • Para fazer o esboço, basta saber um ponto e o vetor diretor; já os temos e com os três pontos calculados você consegue desenhar rapidamente uma boa aproximação à mão.
  • Se precisar de uma descrição algébrica compacta, use qualquer uma das formas que obtivemos (paramétrica, simétrica ou como interseção de planos).

Resposta

A curva é a reta que passa por (0,2,0) com vetor diretor (1,-1,2).
Equações paramétricas: \;x=t,\; y=2-t,\; z=2t.
Forma simétrica: \displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{2}.
Equações cartesiana (interseção de planos): \;z=2x e \;x+y=2.

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