Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Passo 1
Beleza, então vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio, derivadas para identificar onde a função cresce ou decresce, pontos de máximo e mínimo, além de verificar possíveis assíntotas e a concavidade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Aqui, temos uma raiz de índice 3 (cubo) elevada ao quadrado. Como a raiz cúbica está bem definida para todo número real (positivo, negativo ou zero), e ao elevar ao quadrado não temos restrições adicionais, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Então:
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada da função
.
A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada é positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Calculando a derivada:
Agora, vamos analisar o sinal de
:
- Quando
, ⇒ ⇒ função cresce. - Quando
, ⇒ ⇒ função decresce. - Em
, a derivada não está definida (técnicamente, tende a ).
Então:
Passo 4
Vamos identificar os pontos críticos e possíveis máximos ou mínimos.
Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não está definida. No nosso caso, a derivada não está definida em
.
Vamos analisar o comportamento em
:
- Quando
se aproxima de -1 pela direita ( ), . - Quando
se aproxima de -1 pela esquerda ( ), .
Isso sugere que em
a função tem um ponto de inflexão e não um máximo ou mínimo.
Além disso, calculando
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos ver se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Para encontrar assíntotas horizontais, verificamos os limites da função quando
tende a
:
Não há valores finitos que a função se aproxima, então não existem assíntotas horizontais.
Para assíntotas verticais, verificamos onde a derivada não está definida. Já vimos que em
, mas isso corresponde a um ponto de inflexão, não a uma assíntota vertical.
Então:
Passo 6
Vamos investigar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Calculando a segunda derivada:
Analisando o sinal de
:
- Para
, ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Para
, ⇒ ⇒ concavidade para baixo.
Como a concavidade não muda, a função é sempre côncava para baixo, mas no ponto
há uma mudança no comportamento da derivada, caracterizando um ponto de inflexão.
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos plotar o gráfico com todas as informações coletadas:
- Domínio: todos os reais.
- Crescimento: cresce para
. - Decrescimento: decresce para
. - Ponto crítico:
(ponto de inflexão). - Assíntotas: nenhuma.
- Concavidade: sempre para baixo.
O gráfico terá uma curva suave que toca o ponto
, decrescendo à esquerda desse ponto e crescendo à direita, com concavidade voltada para baixo em toda a extensão.
Resposta
O gráfico da função
é definido para todos os valores reais, decresce quando
, cresce quando
, possui um ponto de inflexão em
, não tem assíntotas e é sempre côncava para baixo.