Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos utilizar conceitos de cálculo como domínio, derivadas para identificar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, assíntotas, concavidade e limites. Precisaremos entender como cada uma dessas partes funciona para montar o gráfico completinho.
Passo 2
Dominio da função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função
é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A função está definida para todos os valores de
que não tornam o denominador zero.
Então, resolvemos
:
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Assíntotas
Vamos procurar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntota vertical:
Ocorrente quando o denominador se aproxima de zero. A função não está definida em , então temos uma assíntota vertical em
.
Ocorrente quando o denominador se aproxima de zero. A função não está definida em
Assíntota horizontal:
Para funções racionais, se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo líder do denominador.
Para funções racionais, se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo líder do denominador.
Aqui, grau do numerador é 2 e do denominador é 1. Como o grau do numerador é maior, na verdade teremos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial:
Então, a assíntota oblíqua é
.
Passo 4
Derivada da função e intervalos de crescimento/decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada
.
Primeiro, derivamos
usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal da derivada:
-
quando : -
ou : função crescente.
-
-
quando : função decrescente.
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo
Os pontos onde a derivada é zero ou não está definida são candidatos a máximos ou mínimos.
-
quando ou : - Em
: - Mudança de crescente para decrescente: ponto de máximo.
- Em
: - Mudança de decrescente para crescente: ponto de mínimo.
- Em
Vamos calcular os valores:
Então, temos:
- Máximo local em
- Mínimo local em
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão
Calculamos a segunda derivada
para analisar a concavidade:
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do quociente:
Analisamos o sinal de
:
-
quando ( ): concavidade para cima. -
quando ( ): concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão, pois a mudança de concavidade ocorre na assíntota vertical
, onde a função não está definida.
Passo 7
Limites importantes
Vamos analisar os limites da função:
- Limite quando
se aproxima de 1:
Ao substituir
, obtemos
, que tende ao infinito. Precisamos verificar pelo lado esquerdo e direito:
-
: , então -
: , então
- Limite quando
tende ao infinito:
O termo
tende a 0, então:
Isto confirma a presença da assíntota oblíqua
.
Passo 8
Resumo das informações coletadas
- Domínio:
- Assíntota vertical:
- Assíntota oblíqua:
- Intervalos de crescimento:
- Cresce em
e
- Cresce em
- Intervalos de decrescimento:
- Decresce em
- Decresce em
- Máximo local:
- Mínimo local:
- Concavidade:
- Para baixo em
- Para cima em
- Para baixo em
- Limites importantes:
-
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico da função
apresenta:
- Uma assíntota vertical em
e uma assíntota oblíqua . - A função cresce em
e , e decresce entre . - Possui um máximo local em
e um mínimo local em . - A concavidade é para baixo quando
e para cima quando . - Nos limites próximos à assíntota vertical, a função tende a
pela esquerda e pela direita. - Quando
tende ao infinito, o gráfico se aproxima da linha .
Assim, ao esboçar o gráfico, você deve considerar todas essas características para representar corretamente a função.