Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Passo 1
Beleza! Vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio da função, derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, e possíveis assíntotas. Basicamente, vamos analisar a forma geral da função e suas propriedades para desenhar um gráfico bem completinho.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é a soma de um polinômio (
) e uma função exponencial (
). Ambas as funções estão definidas para todos os números reais, então o domínio de
também é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos procurar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de
em relação a
é:
Vamos analisar onde
e
:
- Se
, a função está crescente. - Se
, a função está decrescente.
Como
é sempre positivo (
para todo
), e
pode variar, vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Essa equação não tem solução analítica fácil, então podemos analisar graficamente ou usar métodos numéricos. No entanto, para simplificação, sabemos que
cresce mais rápido que
, então a derivada
é sempre positiva para
. Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 4
Como a função é crescente em todo o domínio, não existem intervalos de decrescimento.
Passo 5
Vamos procurar por pontos de máximo ou mínimo. Pontos de máximo ou mínimo ocorrem onde a primeira derivada é zero ou indefinida. Como
nunca é zero (como discutimos no passo anterior), não há pontos de máximo ou mínimo locais para esta função.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função e determinar os pontos de inflexão, se existirem. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de
.
Como
é sempre positivo,
para todo
. Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
Vamos verificar se existem assíntotas para a função.
-
Assíntotas verticais: Essas ocorrem quando a função tende ao infinito quando
se aproxima de algum valor. Para , não há valores de que fazem a função não estar definida, então não há assíntotas verticais. -
Assíntotas horizontais: Essas ocorrem se a função tende a um valor constante quando
tende a ou . -
Quando
: -
Quando
: e , então
Portanto, não há assíntotas horizontais. -
Passo 8
Vamos calcular os limites importantes:
Isso confirma que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função está definida para todos os
. - É sempre crescente.
- Não possui máximos ou mínimos locais.
- É sempre côncava para cima.
- Não possui assíntotas.
O gráfico será uma curva que cresce continuamente para ambos os lados, começando de
aumentando para
, com a concavidade voltada para cima.
Resposta
O gráfico de
é uma curva sempre crescente, definida para todos os números reais, sem máximos ou mínimos locais. É côncava para cima em todo o domínio e não possui assíntotas verticais ou horizontais. A função cresce indefinidamente conforme
aumenta ou diminui.