Esboce o gráfico de f(x, y).
f(x, y)=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico de f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Informações dadas: a função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
O que se espera do esboço: mostrar a forma da superfície no espaço tridimensional (x,y,z), com destaque para comportamento perto da origem, curvas de nível e cortes por planos que ajudem a visualizar a superfície.

Passo 2

Encontremos pontos críticos e a tangente na origem (isso ajuda a entender a forma local). Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y.
Zerando-as para achar pontos críticos:
2x=0,\quad -2y=0 \implies x=0,\; y=0.
Portanto há um único ponto crítico em (0,0). A tangente à superfície em (0,0,f(0,0)) usa o gradiente; como o gradiente é nulo no ponto, a equação do plano tangente é
z=f(0,0)+0\cdot(x-0)+0\cdot(y-0)=0.
Ou seja, o plano tangente na origem é z=0.

Passo 3

Para identificar o tipo do ponto crítico (mínimo, máximo ou sela) calculamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana. As segundas derivadas são
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0.
A matriz Hessiana em (0,0) é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
O determinante vale
\det(H)=2\cdot(-2)-0= -4<0.
Quando o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é uma sela. Logo a superfície tem forma de sela na origem (não é nem mínimo nem máximo).]

Passo 4

Estude as curvas de nível (secções z=c) porque elas aparecem no esboço em planta e ajudam muito. As curvas de nível são soluções de
x^{2}-y^{2}=c.
  • Para c=0: x^{2}-y^{2}=0 que dá y=\pm x (duas retas que se cruzam na origem).
  • Para c>0: x^{2}-y^{2}=c são hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo x (abrem na direção x).
  • Para c<0: escrevendo y^{2}-x^{2}=-c>0 vemos hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo y (abrem na direção y).
    Portanto, em planta (projeção no plano xy) as curvas de nível são hipérboles que mudam de orientação conforme c muda de sinal.

Passo 5

Olhemos cortes por planos coordenados (esse é um jeito prático e fácil de desenhar à mão):
  • Corte por y=0: \;f(x,0)=x^{2}. Isso é uma parábola em xz que abre para cima com vértice em (0,0). No espaço: na reta y=0 a superfície sobe como z=x^{2}.
  • Corte por x=0: \;f(0,y)=-y^{2}. Isso é uma parábola em yz que abre para baixo. Na reta x=0 a superfície desce como z=-y^{2}.
    Conclusão: ao longo do eixo x a superfície sobe (curvatura positiva) e ao longo do eixo y ela desce (curvatura negativa) — isso é a essência da sela.

Passo 6

Mostre cortes por planos inclinados para entender direções que sobem ou descem. Tome uma reta no plano xy dada por y=mx. Substituindo:
f(x,mx)=x^{2}-(mx)^{2}=(1-m^{2})x^{2}.
  • Se |m|<1, então 1-m^{2}>0 e o corte é uma parábola que abre para cima (subida).
  • Se |m|>1, então 1-m^{2}<0 e o corte abre para baixo (descida).
  • Se |m|=1, então f(x,mx)=0 para todo x: a reta y=\pm x está contida na interseção da superfície com o plano z=0 (essas são as direções assintóticas da sela).
    Isto confirma que há direções de subida e de descida passando pela origem — típico de sela.

Passo 7

Dê pontos específicos para posicionar na hora do esboço (bons marcadores):
f(1,0)=1,\quad f(-1,0)=1,\quad f(0,1)=-1,\quad f(0,-1)=-1,
f(1,1)=0,\quad f(2,1)=3,\quad f(1,2)=-3.
Use esses pontos: sobre o eixo x (quando y=0) a superfície está acima do plano z=0; sobre o eixo y (quando x=0) está abaixo.

Passo 8

Como montar o esboço passo a passo (manual, sem software):
  1. Desenhe três eixos ortogonais x, y (plano horizontal) e z (vertical). Coloque a origem O.
  2. Trace as retas y=\pm x no plano xy; essas são as curvas de nível para c=0 (interseção com o plano tangente z=0).
  3. Desenhe a parábola em um corte y=0: na direção do eixo x desenhe uma “taça” voltada para cima passando por (\pm1,0,1).
  4. Desenhe a parábola no corte x=0: na direção do eixo y desenhe uma “taça” voltada para baixo passando por (0,\pm1,-1).
  5. Para completar, desenhe algumas curvas de nível hiperbólicas projetadas no plano xy: para c>0 hipérboles com ramos ao longo do x, para c<0 hipérboles com ramos ao longo do y. Eleve cada curva de nível à altura z=c.
  6. Conecte suavemente os cortes para formar a superfície com a clássica aparência de sela: sobe ao longo do eixo x e desce ao longo do eixo y, atravessando o plano z=0 ao longo de y=\pm x.

Passo 9

Interpretação geométrica e dicas para a prova (resumindo o que você precisa lembrar para desenhar rápido):
  • Tipo da superfície: paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície de sela).
  • Tangente na origem: z=0.
  • Curvas de nível: hipérboles x^{2}-y^{2}=c (mudar orientação conforme o sinal de c).
  • Cortes por retas y=mx: dão parábolas com coeficiente (1-m^{2}), úteis para decidir se aquela direção sobe ou desce.
  • Pontos de referência: f(1,0)=1,\; f(0,1)=-1,\; f(1,1)=0.

Resposta

Superfície de sela (paraboloide hiperbólico) dada por z=x^{2}-y^{2}. Tangente em (0,0,0) é z=0. Curvas de nível x^{2}-y^{2}=c (hipérboles); cortes y=0 e x=0 são parábolas z=x^{2} (abre pra cima) e z=-y^{2} (abre pra baixo), respectivamente.

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