Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico de
.
Informações dadas: a função é definida por
.
O que se espera do esboço: mostrar a forma da superfície no espaço tridimensional , com destaque para comportamento perto da origem, curvas de nível e cortes por planos que ajudem a visualizar a superfície.
Informações dadas: a função é
O que se espera do esboço: mostrar a forma da superfície no espaço tridimensional
Passo 2
Encontremos pontos críticos e a tangente na origem (isso ajuda a entender a forma local). Calcule as derivadas parciais:
Zerando-as para achar pontos críticos:
Portanto há um único ponto crítico em
. A tangente à superfície em
usa o gradiente; como o gradiente é nulo no ponto, a equação do plano tangente é
Ou seja, o plano tangente na origem é
.
Passo 3
Para identificar o tipo do ponto crítico (mínimo, máximo ou sela) calculamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana. As segundas derivadas são
A matriz Hessiana em
é
O determinante vale
Quando o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é uma sela. Logo a superfície tem forma de sela na origem (não é nem mínimo nem máximo).]
Passo 4
Estude as curvas de nível (secções
) porque elas aparecem no esboço em planta e ajudam muito. As curvas de nível são soluções de
- Para
: que dá (duas retas que se cruzam na origem). - Para
: são hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo (abrem na direção ). - Para
: escrevendo vemos hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo (abrem na direção ).
Portanto, em planta (projeção no plano) as curvas de nível são hipérboles que mudam de orientação conforme muda de sinal.
Passo 5
Olhemos cortes por planos coordenados (esse é um jeito prático e fácil de desenhar à mão):
- Corte por
: . Isso é uma parábola em que abre para cima com vértice em . No espaço: na reta a superfície sobe como . - Corte por
: . Isso é uma parábola em que abre para baixo. Na reta a superfície desce como .
Conclusão: ao longo do eixoa superfície sobe (curvatura positiva) e ao longo do eixo ela desce (curvatura negativa) — isso é a essência da sela.
Passo 6
Mostre cortes por planos inclinados para entender direções que sobem ou descem. Tome uma reta no plano
dada por
. Substituindo:
- Se
, então e o corte é uma parábola que abre para cima (subida). - Se
, então e o corte abre para baixo (descida). - Se
, então para todo : a reta está contida na interseção da superfície com o plano (essas são as direções assintóticas da sela).
Isto confirma que há direções de subida e de descida passando pela origem — típico de sela.
Passo 7
Dê pontos específicos para posicionar na hora do esboço (bons marcadores):
Use esses pontos: sobre o eixo
(quando
) a superfície está acima do plano
; sobre o eixo
(quando
) está abaixo.
Passo 8
Como montar o esboço passo a passo (manual, sem software):
- Desenhe três eixos ortogonais
, (plano horizontal) e (vertical). Coloque a origem O. - Trace as retas
no plano ; essas são as curvas de nível para (interseção com o plano tangente ). - Desenhe a parábola em um corte
: na direção do eixo desenhe uma “taça” voltada para cima passando por . - Desenhe a parábola no corte
: na direção do eixo desenhe uma “taça” voltada para baixo passando por . - Para completar, desenhe algumas curvas de nível hiperbólicas projetadas no plano
: para hipérboles com ramos ao longo do , para hipérboles com ramos ao longo do . Eleve cada curva de nível à altura . - Conecte suavemente os cortes para formar a superfície com a clássica aparência de sela: sobe ao longo do eixo
e desce ao longo do eixo , atravessando o plano ao longo de .
Passo 9
Interpretação geométrica e dicas para a prova (resumindo o que você precisa lembrar para desenhar rápido):
- Tipo da superfície: paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície de sela).
- Tangente na origem:
. - Curvas de nível: hipérboles
(mudar orientação conforme o sinal de ). - Cortes por retas
: dão parábolas com coeficiente , úteis para decidir se aquela direção sobe ou desce. - Pontos de referência:
.
Resposta
Superfície de sela (paraboloide hiperbólico) dada por
. Tangente em
é
. Curvas de nível
(hipérboles); cortes
e
são parábolas
(abre pra cima) e
(abre pra baixo), respectivamente.