Esboce o gráfico de f(x, y).
f(x, y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função \;f(x,y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.\n
Informações dadas e o que devemos produzir:\n
  • A função é \;f(x,y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.\n
  • O objetivo é desenhar (esboçar) a superfície tridimensional definida por z=f(x,y).\n
  • Devemos identificar características úteis para o esboço: domínio, imagem (intervalo de valores de z), curvas de nível, traços (interseções com planos coordenados) e comportamento da superfície perto da origem.

Passo 2

Observe a dependência radial da função: defina \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. Então a função pode ser escrita como
f(x,y)=-r.
Explicação didática: \;r\; é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano xy. A expressão \;f(x,y)=-r\; diz que o valor de z depende só da distância ao centro, não da direção: todos os pontos à mesma distância da origem têm o mesmo z. Isso indica simetria circular (rotacional) em torno do eixo z.

Passo 3

Traços (cortes por planos simples) — isso ajuda muito no esboço.\n
  1. Traço no plano y=0:\n
f(x,0)=-\sqrt{x^{2}}=-|x|.
Comentário: ao cortar por y=0 vemos a função z=-|x|, que é a letra “V” invertida com vértice em (0,0) no plano xz. Então na direção do eixo x a superfície forma uma quilha em V.\n
2) Traço no plano x=0:\n
f(0,y)=-\sqrt{y^{2}}=-|y|.
Comentário: mesma forma em V ao longo da direção y.\n
3) Traço ao longo de qualquer reta que passe pela origem no plano xy: se paramos essa reta por t\mapsto (t\cos\theta,t\sin\theta), obtemos z=-|t|. Logo em qualquer direção radial o perfil é um V igual. Isso confirma que o formato visto nas direções coordenadas se repete em todas as direções.

Passo 4

Curvas de nível (úteis para o “plano visto de cima”): resolvemos \;f(x,y)=c\; para um valor fixo c.\n
Se c\le 0, temos
-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=c \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2} } = -c.
Portanto a curva de nível para c\le 0 é o círculo de raio -c centrado na origem. Se c>0 não existe ponto com f(x,y)=c (vazio).\n
Conclusões: as fatias horizontais z=c com c\le 0 são círculos de raio -c. Assim, ao olhar de cima vemos círculos concêntricos; ao olhar em 3D isso corresponde a um cone.

Passo 5

Descrição geométrica da superfície:\n
  • Domínio: todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (não há restrição para \sqrt{x^{2}+y^{2}}).\n
  • Imagem (valores de z): como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0, temos \;z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 0. Portanto a imagem é (-\infty,0] e o máximo z=0 ocorre apenas na origem (0,0).\n
  • Geometria: é um cone circular apontado para baixo, com vértice (ápice) em (0,0,0). No plano meridional (o corte radial r- z) a equação é z=-r, uma reta com inclinação -1. Isso significa que a geratriz do cone faz um ângulo de 45^\circ com o eixo horizontal (porque \arctan(1)=45^\circ).

Passo 6

Cálculo do gradiente e regularidade (isso ajuda a entender a “pontuda” na origem):\n
Para (x,y)\neq(0,0),
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) = -\frac{(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Interpretação: \nabla f tem magnitude 1 (pois \big\|-(x,y)/\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big\|=1) e aponta radialmente para dentro (no sentido do negativo de (x,y)). Isso mostra que a inclinação (tamanho do gradiente) é constante fora da origem.\n
Na origem as derivadas parciais não existem: por exemplo, ao fixar y=0 temos f(x,0)=-|x|, cuja derivada em x=0 à direita vale -1 e à esquerda vale 1; logo não há derivada única em 0. Geometricamente a superfície tem um vértice pontudo em (0,0,0) — não é diferenciável aí.

Passo 7

Passo-a-passo para esboçar na prova (faça isso sem calculadora):\n
  1. Desenhe os eixos x, y no plano e o eixo z vertical.\n
  2. Marque o vértice do cone em (0,0,0).\n
  3. Desenhe um V no plano xz (traço y=0), com vértice em (0,0,0) e ramos descendo nas direções x>0 e x<0 formando as retas z=-x e z= x (na prática o V é z=-|x|). Faça o mesmo para o plano yz.\n
  4. A partir desses V’s, rode a forma de modo circular: conecte os ramos formando uma superfície que se abre simetricamente em todas as direções — isso cria o cone circular apontado para baixo.\n
  5. Para ajudar a visualizar, desenhe algumas curvas de nível horizontais: por exemplo z=-1 corresponde a um círculo de raio 1 no plano xy; z=-2 círculo de raio 2, etc. Essas curvas mostram claramente a abertura circular do cone.\n
    Dica final: lembrar que qualquer raio do plano xy dá um perfil z=-r (um V visto de lado), então a superfície é exatamente o mesmo V girado em torno do eixo z.

Resposta

Superfície: cone circular invertido descrito por z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}} com vértice em (0,0,0), domínio \mathbb{R}^{2}, imagem (-\infty,0], cortes horizontais (níveis) são círculos de raio -z para z\le 0; a superfície não é diferenciável na origem.

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