Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow d^{+}} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3} & \text { se } & x \leq 2 \\\\ 4-2 x & \text { se } & x>2\end{array} \quad a=2\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{3}, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] 4-2x, & \text{se } x>2, \end{cases}
e pede para determinar os limites laterais e o limite em a, com a=2. As perguntas são:
(a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(b) \displaystyle \lim_{x\to d^{+}} f(x),
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
Observação importante: o enunciado em (b) usa a letra d que não foi definida. Vou assumir que isso é um erro de impressão e que se queria d=2 (ou seja, \lim_{x\to 2^{+}} f(x)), porque as demais partes referem-se a a=2. Se preferir, pense em (b) como \lim_{x\to 2^{+}} f(x).]

Passo 2

Entendendo o que significa cada limite (rápido resumo prático para a prova):
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) significa aproximar x de 2 vindo da esquerda (valores menores que 2). Quando x<2 (ou muito próximo e menor que 2) usamos a regra da parte correspondente, aqui x^{3}.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa aproximar x de 2 vindo da direita (valores maiores que 2). Quando x>2 usamos a outra parte, aqui 4-2x.
  • Para funções polinomiais e funções lineares a técnica é simples: essas funções são contínuas nos reais, então o limite ao aproximar-se de um ponto é o próprio valor da expressão plugando x naquele ponto. Isso nos poupa trabalho na prova.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) com a=2.
Para x aproximando-se de 2 pela esquerda usamos a parte x^{3}. Como x^{3} é polinomial (contínua), podemos substituir x=2:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} x^{3}=2^{3}=8.
Portanto a resposta do item (a) é 8.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\to d^{+}} f(x) assumindo d=2, ou seja \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Para x aproximando-se de 2 pela direita usamos a parte 4-2x. Essa é uma função linear (contínua), então substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (4-2x)=4-2\cdot 2=4-4=0.
Portanto a resposta do item (b) é 0.

Passo 5

Determinar \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) com a=2.
O limite \lim_{x\to 2} f(x) existe se e somente se os limites laterais à esquerda e à direita são iguais. Já temos:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=8,\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=0.
Como 8\neq 0, os dois limites laterais não coincidem; logo o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 2} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Adicional útil para a prova: o valor da função em 2 é f(2)=2^{3}=8 (porque a definição diz x^{3} para x\le 2). Assim há uma descontinuidade do tipo “salto” em x=2, já que f(2)=8 e o limite pela direita é 0.

Passo 6

Resumo prático e dica para prova (como fazer rápido e sem erro):
  • Identifique qual ramo da função vale quando x se aproxima do ponto pela esquerda e pela direita.
  • Se o ramo for polinomial ou linear, substitua o ponto diretamente (funções contínuas).
  • Compare os dois limites laterais: se forem iguais, esse é o limite; se diferentes, o limite não existe.
  • Sempre verifique também f(a) para classificar a continuidade (contínua, salto, etc.). Forneça o resultado final claro na folha de resposta.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x)=8
(b) \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=0 (assumindo d=2)
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\\ \text{não existe}ã

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