Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow d^{+}} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x) f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3} & \text { se } & x \leq 2 \\\\ 4-2 x & \text { se } & x>2\end{array} \quad a=2\right.
e pede para determinar os limites laterais e o limite em a, com a=2. As perguntas são:
(a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(b) \displaystyle \lim_{x\to d^{+}} f(x),
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
Observação importante: o enunciado em (b) usa a letra d que não foi definida. Vou assumir que isso é um erro de impressão e que se queria d=2 (ou seja, \lim_{x\to 2^{+}} f(x)), porque as demais partes referem-se a a=2. Se preferir, pense em (b) como \lim_{x\to 2^{+}} f(x).]
Passo 2
Entendendo o que significa cada limite (rápido resumo prático para a prova):
\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) significa aproximar x de 2 vindo da esquerda (valores menores que 2). Quando x<2 (ou muito próximo e menor que 2) usamos a regra da parte correspondente, aqui x^{3}.
\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa aproximar x de 2 vindo da direita (valores maiores que 2). Quando x>2 usamos a outra parte, aqui 4-2x.
Para funções polinomiais e funções lineares a técnica é simples: essas funções são contínuas nos reais, então o limite ao aproximar-se de um ponto é o próprio valor da expressão plugando x naquele ponto. Isso nos poupa trabalho na prova.
Passo 3
Calcular \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) com a=2.
Para x aproximando-se de 2 pela esquerda usamos a parte x^{3}. Como x^{3} é polinomial (contínua), podemos substituir x=2:
Como 8\neq 0, os dois limites laterais não coincidem; logo o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 2} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Adicional útil para a prova: o valor da função em 2 é f(2)=2^{3}=8 (porque a definição diz x^{3} para x\le 2). Assim há uma descontinuidade do tipo “salto” em x=2, já que f(2)=8 e o limite pela direita é 0.
Passo 6
Resumo prático e dica para prova (como fazer rápido e sem erro):
Identifique qual ramo da função vale quando x se aproxima do ponto pela esquerda e pela direita.
Se o ramo for polinomial ou linear, substitua o ponto diretamente (funções contínuas).
Compare os dois limites laterais: se forem iguais, esse é o limite; se diferentes, o limite não existe.
Sempre verifique também f(a) para classificar a continuidade (contínua, salto, etc.). Forneça o resultado final claro na folha de resposta.