Esboce o gráfico da função
definida por partes e, para o valor
indicado, determine cada limite, se existir.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
e indica
. As perguntas pedem:
(a) ,
(b) ,
(c) .
(a)
(b)
(c)
Observação importante: no enunciado apareceu
em (b) mas só foi dado
. Vou interpretar que houve uma pequena troca de letra e que a intenção é pedir o limite pela direita em
, ou seja
. Se essa interpretação estiver errada, expliquei a dúvida por escrito. A partir daqui vou calcular os limites em
: a) limite à esquerda, b) limite à direita, c) limite total.]
Passo 2
O que significa calcular um limite lateral aqui (uma mini-aula leve):
-
é o valor que se aproxima quando vem por valores menores que (isto é, por ). -
é o valor que se aproxima quando vem por valores maiores que (isto é, por ).
Para funções definidas por partes, para calcular uma dessas, usa-se a expressão da parte que vale na vizinhança correspondente de. Também é útil lembrar que polinômios (como e ) são contínuos, então o limite de um polinômio quando é simplesmente o polinômio avaliado em .
Passo 3
Calcular
com
.
- Quando
se aproxima de pela esquerda ( ), a definição da função usa a parte (porque essa parte vale para ). - Como
é polinômio contínuo, o limite é o valor obtido substituindo em . Então:
Passo 4
Executando a conta do passo anterior:
Portanto o limite pela esquerda em
é
.
Passo 5
Calcular
(interpretei o item (b) como este).
- Quando
se aproxima de pela direita ( ), a definição usa . - Como
é polinômio contínuo, o limite é . Assim:
Passo 6
Comparar os limites laterais e concluir sobre o limite total.
- Encontramos
e . - Uma afirmação básica sobre limites diz:
existe se, e somente se, os dois limites laterais existem e são iguais. - Aqui os limites laterais são diferentes (
), logo o limite total em não existe.
Passo 7
Valor da função em
e tipo de descontinuidade (contexto extra para a prova).
- A definição diz que para
vale . Então
- Como
não existe (os laterais diferem), não é contínua em . Tem-se um salto: à esquerda o valor limite é (que coincide com ), à direita o valor limite é . Chama-se descontinuidade por salto.
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova):
- Desenhe a reta
para todos os . Em particular marque o ponto fechado (preenchido) porque a parte vale em . - Desenhe a parábola
para . No ponto dessa parábola coloque um círculo aberto em (porque a parte não se aplica em ). - A partir de
a parábola segue normalmente (por exemplo, em tem ). A reta para segue linear (por exemplo, em tem ).
Esse esboço mostra claramente o salto entre(aberto) e (fechado).
Resposta
(a)
(b)
(c) não existe
(b)
(c)