Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow d^{+}} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x \\\ x^{2}\end{array}\right.\begin{array}{ll}\text { se } & x \leq 2 \\text { se } & x>2\end{array} a=2

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 3x & \text{se } x\le 2,\\[4pt] x^{2} & \text{se } x>2, \end{cases}
e indica a=2. As perguntas pedem:
(a) \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(b) \lim_{x\to d^{+}} f(x),
(c) \lim_{x\to a} f(x).
Observação importante: no enunciado apareceu \,d em (b) mas só foi dado a=2. Vou interpretar que houve uma pequena troca de letra e que a intenção é pedir o limite pela direita em a, ou seja \lim_{x\to a^{+}} f(x). Se essa interpretação estiver errada, expliquei a dúvida por escrito. A partir daqui vou calcular os limites em a=2: a) limite à esquerda, b) limite à direita, c) limite total.]

Passo 2

O que significa calcular um limite lateral aqui (uma mini-aula leve):
  • \lim_{x\to a^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem por valores menores que a (isto é, por x< a).
  • \lim_{x\to a^{+}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem por valores maiores que a (isto é, por x> a).
    Para funções definidas por partes, para calcular uma dessas, usa-se a expressão da parte que vale na vizinhança correspondente de a. Também é útil lembrar que polinômios (como 3x e x^{2}) são contínuos, então o limite de um polinômio quando x\to a é simplesmente o polinômio avaliado em a.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to a^{-}} f(x) com a=2.
  • Quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x<2), a definição da função usa a parte f(x)=3x (porque essa parte vale para x\le 2).
  • Como 3x é polinômio contínuo, o limite é o valor obtido substituindo x=2 em 3x. Então:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} 3x = 3\cdot 2.

Passo 4

Executando a conta do passo anterior:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3\cdot 2=6.
Portanto o limite pela esquerda em a=2 é 6.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to a^{+}} f(x) (interpretei o item (b) como este).
  • Quando x se aproxima de 2 pela direita ( x>2), a definição usa f(x)=x^{2}.
  • Como x^{2} é polinômio contínuo, o limite é 2^{2}. Assim:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} x^{2}=2^{2}=4.

Passo 6

Comparar os limites laterais e concluir sobre o limite total.
  • Encontramos \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=6 e \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4.
  • Uma afirmação básica sobre limites diz: \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, os dois limites laterais existem e são iguais.
  • Aqui os limites laterais são diferentes ( 6\neq 4), logo o limite total em a=2 não existe.

Passo 7

Valor da função em a=2 e tipo de descontinuidade (contexto extra para a prova).
  • A definição diz que para x\le 2 vale f(x)=3x. Então
f(2)=3\cdot 2=6.
  • Como \lim_{x\to 2} f(x) não existe (os laterais diferem), f não é contínua em 2. Tem-se um salto: à esquerda o valor limite é 6 (que coincide com f(2)), à direita o valor limite é 4. Chama-se descontinuidade por salto.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova):
  1. Desenhe a reta y=3x para todos os x\le 2. Em particular marque o ponto fechado (preenchido) (2,6) porque a parte 3x vale em x=2.
  2. Desenhe a parábola y=x^{2} para x>2. No ponto x=2 dessa parábola coloque um círculo aberto em (2,4) (porque a parte x^{2} não se aplica em x=2).
  3. A partir de x>2 a parábola segue normalmente (por exemplo, em x=3 tem (3,9)). A reta para x<2 segue linear (por exemplo, em x=0 tem (0,0)).
    Esse esboço mostra claramente o salto entre (2,4) (aberto) e (2,6) (fechado).

Resposta

(a) \lim_{x\to a^{-}} f(x)=6
(b) \lim_{x\to a^{+}} f(x)=4
(c) \lim_{x\to a} f(x) não existe

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