Calcule
com
e
com
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
Dados importantes a observar (listagem completa do enunciado):
- A curva
é dada por uma parametrização em entre e . - A função
tem denominador , portanto é indefinida quando . - Substituindo a coordenada
da curva: . A equação tem solução
Portanto a curva
cruza a superfície
no parâmetro
, que pertence ao intervalo
. Isso significa que ao longo do intervalo de integração há um ponto onde
não está definida (singularidade).
Passo 2
Conceito chave e técnica que vamos usar (explicação didática): para um campo escalar
suficientemente regular (diferenciável) e uma curva parametrizada
, vale a identidade
ou, em notação de integrais de linha,
que é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (também chamado de teorema da integral de linha para campos gradiente). Aqui
é o vetor velocidade da curva e
é o produto interno usual. Importante: essa fórmula só é válida se
for diferenciável ao longo de toda a curva (ou seja, não cruzarmos pontos onde
é indefinida). No nosso problema existe uma singularidade em
, então teremos que tratar a integral como integral imprópria, dividindo o intervalo em dois pedaços em torno de
.
Passo 3
Calculemos a derivada da parametrização (o vetor velocidade) e escrevamos a integral paramétrica equivalente. A parametrização é
Derivando componente a componente,
A integral pedida é
Pelo resultado do Passo 2, quando
for diferenciável em um subintervalo,
.
Passo 4
Porque há singularidade em
, dividimos a integral em duas integrais impróprias:
Em cada pedaço (onde
é diferenciável) podemos usar a primitivação por
. Assim
e
Portanto a integral total é
Passo 5
Agora precisamos estudar os limites de
quando
e
. Primeiro escrevemos
ao longo da curva:
substituindo ,
,
em
,
substituindo
Observe que o denominador
anula-se exatamente em
porque
. Para avaliar o comportamento da função perto de
examinamos o numerador em
:
Esse valor é diferente de zero (numérica e qualitativamente,
, logo
). Conclusão: o numerador tende para um número finito não nulo ao passo que o denominador tende a zero; portanto
tem um assimptoto vertical em
e diverge para
.
Passo 6
Determinar os sinais dos limites laterais. Para
(isto é, aproximando por valores menores), temos
então
. O numerador perto de
é aproximadamente
(negativo). Portanto, para
,
Para
(aproximação pela direita), temos
então
, e o numerador continua próximo de
(negativo). Assim, para
,
Passo 7
Avaliação das duas integrais impróprias usando os limites acima.
Primeira integral:
Como
quando
e
é finito, essa expressão tende a
. (Para registro, calculamos
explicitamente:
, então
mas o valor exato é irrelevante para o infinito que aparece.)
Segunda integral:
Como
quando
e
é finito, essa expressão tende a
(pois é um número finito menos
). (Para registro,
é finito:
e
)
Passo 8
Somando as duas contribuições (as duas integrais impróprias) obtemos
Portanto a integral não converge como número finito; diverge para
. Intuitivamente isso ocorre porque ao atravessar a singularidade de
a primitiva
salta de
para
, e as diferenças de primitiva em cada lado produzem divergências negativas que não se cancelam.
Resposta
Diverge para
.