Calcule \int_{\gamma}\langle\nabla f, d \vec{l}\rangle com
f(x, y, z)=\frac{3 x-8 y}{z-6} e \gamma(t)=\left(6 t, 4,9-t^{3}\right) com -1 \leqslant t \leqslant 3.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec{l}\rangle.
Informações dadas:
f(x,y,z)=\frac{3x-8y}{z-6},
\gamma(t)=\bigl(6t,\;4,\;9-t^{3}\bigr),\qquad -1\le t\le 3.
Dados importantes a observar (listagem completa do enunciado):
  • A curva \gamma é dada por uma parametrização em t entre -1 e 3.
  • A função f tem denominador z-6, portanto é indefinida quando z=6.
  • Substituindo a coordenada z da curva: z(t)=9-t^{3}. A equação z(t)=6 tem solução
9-t^{3}=6 \quad\Rightarrow\quad t^{3}=3 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt[3]{3}.
Portanto a curva \gamma cruza a superfície z=6 no parâmetro t_{0}=\sqrt[3]{3}, que pertence ao intervalo [-1,3]. Isso significa que ao longo do intervalo de integração há um ponto onde f não está definida (singularidade).

Passo 2

Conceito chave e técnica que vamos usar (explicação didática): para um campo escalar f suficientemente regular (diferenciável) e uma curva parametrizada \gamma(t), vale a identidade
\frac{d}{dt}\bigl(f(\gamma(t))\bigr)=\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle,
ou, em notação de integrais de linha,
\int_{a}^{b}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt =\;f(\gamma(b))-f(\gamma(a)),
que é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (também chamado de teorema da integral de linha para campos gradiente). Aqui \gamma'(t) é o vetor velocidade da curva e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual. Importante: essa fórmula só é válida se f for diferenciável ao longo de toda a curva (ou seja, não cruzarmos pontos onde f é indefinida). No nosso problema existe uma singularidade em t=t_{0}, então teremos que tratar a integral como integral imprópria, dividindo o intervalo em dois pedaços em torno de t_{0}.

Passo 3

Calculemos a derivada da parametrização (o vetor velocidade) e escrevamos a integral paramétrica equivalente. A parametrização é
\gamma(t)=(6t,\;4,\;9-t^{3}).
Derivando componente a componente,
\gamma'(t)=\bigl(6,\;0,\;-3t^{2}\bigr).
A integral pedida é
\int_{\gamma}\langle\nabla f,d\vec l\rangle =\int_{-1}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt.
Pelo resultado do Passo 2, quando f for diferenciável em um subintervalo, \langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle=\dfrac{d}{dt}\bigl(f(\gamma(t))\bigr).

Passo 4

Porque há singularidade em t_{0}=\sqrt[3]{3}, dividimos a integral em duas integrais impróprias:
\int_{-1}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt =\lim_{a\to t_{0}^{-}}\int_{-1}^{a}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt +\lim_{b\to t_{0}^{+}}\int_{b}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt.
Em cada pedaço (onde f é diferenciável) podemos usar a primitivação por f(\gamma(t)). Assim
\int_{-1}^{a}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt = f(\gamma(a))-f(\gamma(-1)),
e
\int_{b}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt = f(\gamma(3))-f(\gamma(b)).
Portanto a integral total é
\lim_{a\to t_{0}^{-}}\bigl(f(\gamma(a))-f(\gamma(-1))\bigr) +\lim_{b\to t_{0}^{+}}\bigl(f(\gamma(3))-f(\gamma(b))\bigr).

Passo 5

Agora precisamos estudar os limites de f(\gamma(t)) quando t\to t_{0}^{-} e t\to t_{0}^{+}. Primeiro escrevemos f ao longo da curva:
substituindo x=6t, y=4, z=9-t^{3} em f,
f(\gamma(t))=\frac{3(6t)-8(4)}{\,9-t^{3}-6\,} =\frac{18t-32}{3-t^{3}}.
Observe que o denominador 3-t^{3} anula-se exatamente em t_{0} porque t_{0}^{3}=3. Para avaliar o comportamento da função perto de t_{0} examinamos o numerador em t_{0}:
18t_{0}-32=18\sqrt[3]{3}-32.
Esse valor é diferente de zero (numérica e qualitativamente, \sqrt[3]{3}\approx1,442\Rightarrow 18\cdot1{,}442\approx25{,}956, logo 25{,}956-32\approx -6{,}044\neq0). Conclusão: o numerador tende para um número finito não nulo ao passo que o denominador tende a zero; portanto f(\gamma(t)) tem um assimptoto vertical em t=t_{0} e diverge para \pm\infty.

Passo 6

Determinar os sinais dos limites laterais. Para t<t_{0} (isto é, aproximando por valores menores), temos t^{3}<3 então 3-t^{3}>0. O numerador perto de t_{0} é aproximadamente 18t_{0}-32\approx -6{,}044 (negativo). Portanto, para t\to t_{0}^{-},
f(\gamma(t))=\frac{18t-32}{3-t^{3}}\longrightarrow \frac{\text{negativo}}{+\;0}=-\infty.
Para t>t_{0} (aproximação pela direita), temos t^{3}>3 então 3-t^{3}<0, e o numerador continua próximo de -6{,}044 (negativo). Assim, para t\to t_{0}^{+},
f(\gamma(t))=\frac{18t-32}{3-t^{3}}\longrightarrow \frac{\text{negativo}}{-\;0}=+\infty.

Passo 7

Avaliação das duas integrais impróprias usando os limites acima.
Primeira integral:
\lim_{a\to t_{0}^{-}}\int_{-1}^{a}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt = \lim_{a\to t_{0}^{-}}\bigl(f(\gamma(a))-f(\gamma(-1))\bigr).
Como f(\gamma(a))\to -\infty quando a\to t_{0}^{-} e f(\gamma(-1)) é finito, essa expressão tende a -\infty. (Para registro, calculamos f(\gamma(-1)) explicitamente: \gamma(-1)=(-6,4,10), então
f(\gamma(-1))=\frac{3(-6)-8(4)}{10-6}=\frac{-18-32}{4}=-\frac{50}{4}=-\frac{25}{2},
mas o valor exato é irrelevante para o infinito que aparece.)
Segunda integral:
\lim_{b\to t_{0}^{+}}\int_{b}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt = \lim_{b\to t_{0}^{+}}\bigl(f(\gamma(3))-f(\gamma(b))\bigr).
Como f(\gamma(b))\to +\infty quando b\to t_{0}^{+} e f(\gamma(3)) é finito, essa expressão tende a -\infty (pois é um número finito menos +\infty). (Para registro, f(\gamma(3)) é finito: \gamma(3)=(18,4,-18) e
f(\gamma(3))=\frac{3\cdot18-8\cdot4}{-18-6}=\frac{54-32}{-24}=\frac{22}{-24}=-\frac{11}{12}.
)

Passo 8

Somando as duas contribuições (as duas integrais impróprias) obtemos
\int_{-1}^{3}\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt = (-\infty) + (-\infty) = -\infty.
Portanto a integral não converge como número finito; diverge para -\infty. Intuitivamente isso ocorre porque ao atravessar a singularidade de f a primitiva f(\gamma(t)) salta de -\infty para +\infty, e as diferenças de primitiva em cada lado produzem divergências negativas que não se cancelam.

Resposta

Diverge para -\infty.

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