Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por:
f(x)=-x^{2}+1 ;-1 \leq x<2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função real de uma variável f definida por f(x)=-x^{2}+1 no intervalo -1\le x<2.
Informações dadas e o que se pede:
  • A fórmula da função é f(x)=-x^{2}+1.
  • O domínio da função está restrito ao intervalo -1\le x<2.
  • A tarefa é esboçar o gráfico dessa função, respeitando a inclusão/exclusão dos extremos do intervalo.

Passo 2

Encontrar o vértice e a simetria da parábola (pontos-chave para o esboço).
A função é uma parábola da forma f(x)=ax^{2}+bx+c com a=-1, b=0, c=1. Uma fórmula útil para a abscissa do vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Aqui b=0 e a=-1, então
x_{v}=-\frac{0}{2\cdot(-1)}=0.
O valor do vértice (ordenada) é f(0)= -0^{2}+1 = 1. Logo o vértice é o ponto (0,1). A linha de simetria é a reta vertical x=0.
Explicação curta do porquê: o termo x^{2} tem coeficiente negativo ( a=-1), então a parábola “abre para baixo” e o vértice é um máximo.

Passo 3

Calcular valores nos pontos importantes do domínio e verificar inclusão/exclusão de extremos.
Avaliar a função em alguns pontos fáceis:
f(-1) = -(-1)^{2}+1 = -1+1 = 0,
f(0) = 1 \quad(\text{vértice, máximo}),éá
f(1) = -(1)^{2}+1 = -1+1 = 0,
f(2) = -(2)^{2}+1 = -4+1 = -3.
Importante: o enunciado diz -1\le x<2. Isso significa que x=-1 pertence ao domínio (ponto incluído) e x=2 não pertence (ponto excluído). Portanto no esboço:
  • marcar o ponto (-1,0) com um ponto fechado (preenchido),
  • marcar o ponto (2,-3) com um círculo aberto (não preenchido).

Passo 4

Determinar monotonicidade e concavidade na região considerada (ajuda a desenhar corretamente).
Calcule a derivada (explicação: a derivada dá a inclinação da curva e indica onde a função cresce ou decresce):
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^{2}+1) = -2x.
  • Se f'(x)>0 então f cresce; se f'(x)<0 então f decresce.
    Como f'(x)=-2x:
  • Para x<0 temos f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>0 temos f'(x)<0 (função decrescente).
    No nosso domínio -1\le x<2 isso significa que f é crescente em [-1,0] e decrescente em [0,2). A concavidade é para baixo (porque a=-1<0).

Passo 5

Determinar a imagem (intervalo de valores y) do trecho considerado.
O máximo ocorre no vértice: f(0)=1 e ele está no domínio, então o máximo é 1 e é atingido. O mínimo no intervalo ocorre perto do extremo direito x\to2^{-}, onde f(x)\to-3, mas como x=2 não está no domínio, o valor -3 não é atingido — é apenas um limite inferior. Assim a imagem (conjunto de valores y) é
(-3,\,1].
Isto significa que os valores de y vão de um número um pouco maior do que -3 até 1, incluindo 1.

Passo 6

Como fazer o esboço passo a passo no papel (sem calculadora), usando os pontos e informações que achamos:
  1. Desenhar eixos x e y. Marcar a reta de simetria x=0 se quiser (opcional).
  2. Marcar os pontos-chave calculados: (-1,0) (ponto fechado), (0,1) (vértice, ponto fechado), (1,0) (ponto fechado), e (2,-3) (círculo aberto).
  3. Ligar suavemente esses pontos desenhando a parte da parábola que abre para baixo, lembrando que entre -1 e 0 a curva sobe até o vértice e entre 0 e 2 a curva desce até aproximar (2,-3).
  4. Confirmar a forma: simetria em relação a x=0 (o ponto (-1,0) e (1,0) mostram isso parcial), concavidade para baixo, e indicação clara do ponto aberto em (2,-3).
Dica prática: para suavizar a curva, calcule mais um ponto intermediário, por exemplo x=-\tfrac{1}{2} f(-\tfrac{1}{2})= -\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{4} e x=\tfrac{1}{2} dá o mesmo f(\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{4}. Colocar esses pontos ajuda a desenhar a parábola correta.

Passo 7

Resumo visual e observações finais úteis para a prova:
  • É uma porção da parábola y=-x^{2}+1 restrita ao intervalo -1\le x<2.
  • Vértice (máximo): (0,1).
  • Ponto fechado em (-1,0).
  • Ponto aberto em (2,-3).
  • Cresce em [-1,0] e decresce em [0,2).
  • Imagem: (-3,1].
    Ao desenhar, deixe claro o ponto aberto com um círculo não preenchido e o ponto fechado com um ponto preenchido; isso é frequentemente pedido em provas.

Resposta

Esboço: porção da parábola y=-x^{2}+1 para -1\le x<2; vértice em (0,1); passa por (-1,0) (ponto fechado) e por (1,0); aproxima-se de (2,-3) mas com esse ponto aberto (não incluído); cresce em [-1,0], decresce em [0,2); imagem (-3,1].

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