Esboce o gráfico da função real de uma variável
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função real de uma variável
definida por
no intervalo
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A fórmula da função é
. - O domínio da função está restrito ao intervalo
. - A tarefa é esboçar o gráfico dessa função, respeitando a inclusão/exclusão dos extremos do intervalo.
Passo 2
Encontrar o vértice e a simetria da parábola (pontos-chave para o esboço).
A função é uma parábola da forma com
,
,
. Uma fórmula útil para a abscissa do vértice é
A função é uma parábola da forma
Aqui
e
, então
O valor do vértice (ordenada) é
. Logo o vértice é o ponto
. A linha de simetria é a reta vertical
.
Explicação curta do porquê: o termo
tem coeficiente negativo (
), então a parábola “abre para baixo” e o vértice é um máximo.
Passo 3
Calcular valores nos pontos importantes do domínio e verificar inclusão/exclusão de extremos.
Avaliar a função em alguns pontos fáceis:
Avaliar a função em alguns pontos fáceis:
Importante: o enunciado diz
. Isso significa que
pertence ao domínio (ponto incluído) e
não pertence (ponto excluído). Portanto no esboço:
- marcar o ponto
com um ponto fechado (preenchido), - marcar o ponto
com um círculo aberto (não preenchido).
Passo 4
Determinar monotonicidade e concavidade na região considerada (ajuda a desenhar corretamente).
Calcule a derivada (explicação: a derivada dá a inclinação da curva e indica onde a função cresce ou decresce):
Calcule a derivada (explicação: a derivada dá a inclinação da curva e indica onde a função cresce ou decresce):
- Se
então cresce; se então decresce.
Como: - Para
temos (função crescente). - Para
temos (função decrescente).
No nosso domínioisso significa que é crescente em e decrescente em . A concavidade é para baixo (porque ).
Passo 5
Determinar a imagem (intervalo de valores
) do trecho considerado.
O máximo ocorre no vértice: e ele está no domínio, então o máximo é
e é atingido. O mínimo no intervalo ocorre perto do extremo direito
, onde
, mas como
não está no domínio, o valor
não é atingido — é apenas um limite inferior. Assim a imagem (conjunto de valores
) é
O máximo ocorre no vértice:
Isto significa que os valores de
vão de um número um pouco maior do que
até
, incluindo
.
Passo 6
Como fazer o esboço passo a passo no papel (sem calculadora), usando os pontos e informações que achamos:
- Desenhar eixos
e . Marcar a reta de simetria se quiser (opcional). - Marcar os pontos-chave calculados:
(ponto fechado), (vértice, ponto fechado), (ponto fechado), e (círculo aberto). - Ligar suavemente esses pontos desenhando a parte da parábola que abre para baixo, lembrando que entre
e a curva sobe até o vértice e entre e a curva desce até aproximar . - Confirmar a forma: simetria em relação a
(o ponto e mostram isso parcial), concavidade para baixo, e indicação clara do ponto aberto em .
Dica prática: para suavizar a curva, calcule mais um ponto intermediário, por exemplo
dá
e
dá o mesmo
. Colocar esses pontos ajuda a desenhar a parábola correta.
Passo 7
Resumo visual e observações finais úteis para a prova:
- É uma porção da parábola
restrita ao intervalo . - Vértice (máximo):
. - Ponto fechado em
. - Ponto aberto em
. - Cresce em
e decresce em . - Imagem:
.
Ao desenhar, deixe claro o ponto aberto com um círculo não preenchido e o ponto fechado com um ponto preenchido; isso é frequentemente pedido em provas.
Resposta
Esboço: porção da parábola
para
; vértice em
; passa por
(ponto fechado) e por
; aproxima-se de
mas com esse ponto aberto (não incluído); cresce em
, decresce em
; imagem
.