Esboce o gráfico da função real de uma variável
dada por:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função real
definida por
Informações dadas:
- A expressão da função é
. - Não há figura anexa nem valores adicionais.
O que se exige: desenhar (esboçar) o gráfico da função no plano.
Passo 2
Determinar o domínio (os
permitidos) — por que isso importa e como fazer.
- A raiz quadrada de número real está definida apenas para argumentos não negativos. Então, precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero:
- Resolvendo isso:
Portanto o domínio é o conjunto
. Isso significa que o gráfico só existe para
iguais ou maiores que
.
Breve explicação didática: sempre que aparece
na função real, exige-se que o conteúdo dentro da raiz seja
. No papel da prova, verifique essa condição primeiro para não tentar desenhar partes inexistentes.
Passo 3
Determinar a imagem (contraparte: os valores possíveis de
).
- Para
temos , então é um número real não negativo. Ou seja,
- Quando
obtemos . À medida que cresce, cresce sem limite. Logo a imagem é .
Didática rápida: o sinal da raiz define que a saída é sempre
. Marque isso no esboço: não há valores negativos de
.
Passo 4
Interceptos com os eixos (pontos importantes para o desenho).
- Interseção com o eixo
(onde ): resolver → → . Assim existe intercepto em . - Interseção com o eixo
(onde ): não existe porque não pertence ao domínio . Então não há intercepto com o eixo .
Dica para a prova: sempre verifique se
está no domínio antes de afirmar que há intercepto com o eixo
.
Passo 5
Comportamento local perto do ponto inicial
— pente fino no declive.
- Calcule a derivada (para estudar monotonicidade e inclinação):
- Observações importantes:
- Para todo
temos , então a função é estritamente crescente em . - Quando
o denominador , portanto . Isso indica que a curva tem uma inclinação muito íngreme perto de ; geometricamente aparece como uma tangente “vertical” em . - À medida que
, : a função cresce cada vez mais devagar (a curva “aplana”).
- Para todo
Pequena aula: a derivada positiva significa crescimento; derivada grande (tendendo a infinito) perto de um ponto dá a ideia de uma tangentação quase vertical.
Passo 6
Concavidade — saber se a curva é “côncava para cima” ou “para baixo”.
- Calcule a segunda derivada:
- Como
no domínio interno, . Portanto a curva é côncava para baixo em todo o seu domínio .
Didática: concavidade negativa significa que a curva “abre para baixo” — pense numa colher virada para baixo; isso combina com a observação de que a inclinação decresce (derivada decrescente).
Passo 7
Comportamento assintótico quando
.
- Para grandes
,
ou seja, tende ao infinito, mas lentamente:
cresce sem limite, porém a taxa de crescimento diminui (porque
). Não há assíntota horizontal — a função diverge em
.
Explicação prática: a raiz quadrada “subiu” infinitamente, porém fica cada vez mais plana.
Passo 8
Pontos de referência numéricos para desenhar com segurança.
- Calcule alguns pontos fáceis (pega-se da função):
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
-
- Esses pontos mostram a forma: começa em
, sobe rapidamente no início e depois vai subindo mais devagar, passando por , , .
Didática prática: marque esses pontos no papel; unidos por uma curva suave côncava para baixo você terá um bom esboço.
Passo 9
Instrução passo a passo para desenhar o esboço (como fazer na prova sem régua complicada).
- Trace os eixos
e . Marque claramente no eixo . - Marque o ponto
— é o início do gráfico. - Marque os pontos
, e (ou outros que prefira). - Ligue esses pontos por uma curva suave que:
- Não exista para
, - Comece em
com inclinação muito grande (quase vertical), - Seja sempre crescente e côncava para baixo,
- Vá se aplainando para a direita à medida que
aumenta.
- Não exista para
- Indique que o gráfico continua indefinidamente para a direita (sem limite superior).
Dica de desenho: não tente estender a curva para
— a raiz impede isso. Mostre uma pequena marca de que a curva começa exatamente em
.
Resposta
O gráfico é a curva de
deslocada 1 unidade para a direita; domínio
, imagem
; intercepto em
; função estritamente crescente, côncava para baixo, com tangente vertical em
, e que cresce lentamente para
quando
.