Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por:
f(x)=\sqrt{x-1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função real f definida por
f(x)=\sqrt{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é f(x)=\sqrt{x-1}.
  • Não há figura anexa nem valores adicionais.
    O que se exige: desenhar (esboçar) o gráfico da função no plano x\!y.

Passo 2

Determinar o domínio (os x permitidos) — por que isso importa e como fazer.
  • A raiz quadrada de número real está definida apenas para argumentos não negativos. Então, precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero:
x-1 \ge 0.
  • Resolvendo isso:
x \ge 1.
Portanto o domínio é o conjunto [1,\infty). Isso significa que o gráfico só existe para x iguais ou maiores que 1.
Breve explicação didática: sempre que aparece \sqrt{\cdot} na função real, exige-se que o conteúdo dentro da raiz seja \ge 0. No papel da prova, verifique essa condição primeiro para não tentar desenhar partes inexistentes.

Passo 3

Determinar a imagem (contraparte: os valores possíveis de y=f(x)).
  • Para x\ge 1 temos x-1\ge 0, então \sqrt{x-1} é um número real não negativo. Ou seja,
f(x)\ge 0.
  • Quando x=1 obtemos f(1)=\sqrt{0}=0. À medida que x cresce, \sqrt{x-1} cresce sem limite. Logo a imagem é [0,\infty).
Didática rápida: o sinal da raiz define que a saída é sempre \ge 0. Marque isso no esboço: não há valores negativos de y.

Passo 4

Interceptos com os eixos (pontos importantes para o desenho).
  • Interseção com o eixo x (onde y=0): resolver \sqrt{x-1}=0 x-1=0 x=1. Assim existe intercepto em (1,0).
  • Interseção com o eixo y (onde x=0): não existe porque x=0 não pertence ao domínio [1,\infty). Então não há intercepto com o eixo y.
Dica para a prova: sempre verifique se x=0 está no domínio antes de afirmar que há intercepto com o eixo y.

Passo 5

Comportamento local perto do ponto inicial x=1 — pente fino no declive.
  • Calcule a derivada (para estudar monotonicidade e inclinação):
f(x)= (x-1)^{1/2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}},\quad x>1.
  • Observações importantes:
    • Para todo x>1 temos f'(x)>0, então a função é estritamente crescente em (1,\infty).
    • Quando x\to1^+ o denominador \sqrt{x-1}\to0^+, portanto f'(x)\to +\infty. Isso indica que a curva tem uma inclinação muito íngreme perto de x=1; geometricamente aparece como uma tangente “vertical” em x=1.
    • À medida que x\to\infty, f'(x)\to 0^+: a função cresce cada vez mais devagar (a curva “aplana”).
Pequena aula: a derivada positiva significa crescimento; derivada grande (tendendo a infinito) perto de um ponto dá a ideia de uma tangentação quase vertical.

Passo 6

Concavidade — saber se a curva é “côncava para cima” ou “para baixo”.
  • Calcule a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}\right) = -\frac{1}{4}(x-1)^{-3/2} = -\frac{1}{4(x-1)^{3/2}}.
  • Como x>1 no domínio interno, f''(x)<0. Portanto a curva é côncava para baixo em todo o seu domínio (1,\infty).
Didática: concavidade negativa significa que a curva “abre para baixo” — pense numa colher virada para baixo; isso combina com a observação de que a inclinação decresce (derivada decrescente).

Passo 7

Comportamento assintótico quando x\to\infty.
  • Para grandes x,
f(x)=\sqrt{x-1}\sim\sqrt{x},
ou seja, tende ao infinito, mas lentamente: f(x) cresce sem limite, porém a taxa de crescimento diminui (porque f'(x)\to 0). Não há assíntota horizontal — a função diverge em y.
Explicação prática: a raiz quadrada “subiu” infinitamente, porém fica cada vez mais plana.

Passo 8

Pontos de referência numéricos para desenhar com segurança.
  • Calcule alguns pontos fáceis (pega-se da função):
    • x=1 \Rightarrow f(1)=\sqrt{0}=0 → ponto (1,0).
    • x=2 \Rightarrow f(2)=\sqrt{1}=1 → ponto (2,1).
    • x=5 \Rightarrow f(5)=\sqrt{4}=2 → ponto (5,2).
    • x=10 \Rightarrow f(10)=\sqrt{9}=3 → ponto (10,3).
  • Esses pontos mostram a forma: começa em (1,0), sobe rapidamente no início e depois vai subindo mais devagar, passando por (2,1), (5,2), (10,3).
Didática prática: marque esses pontos no papel; unidos por uma curva suave côncava para baixo você terá um bom esboço.

Passo 9

Instrução passo a passo para desenhar o esboço (como fazer na prova sem régua complicada).
  1. Trace os eixos x e y. Marque claramente x=1 no eixo x.
  2. Marque o ponto (1,0) — é o início do gráfico.
  3. Marque os pontos (2,1), (5,2) e (10,3) (ou outros que prefira).
  4. Ligue esses pontos por uma curva suave que:
    • Não exista para x<1,
    • Comece em (1,0) com inclinação muito grande (quase vertical),
    • Seja sempre crescente e côncava para baixo,
    • Vá se aplainando para a direita à medida que x aumenta.
  5. Indique que o gráfico continua indefinidamente para a direita (sem limite superior).
Dica de desenho: não tente estender a curva para x<1 — a raiz impede isso. Mostre uma pequena marca de que a curva começa exatamente em (1,0).

Resposta

O gráfico é a curva de \sqrt{x} deslocada 1 unidade para a direita; domínio [1,\infty), imagem [0,\infty); intercepto em (1,0); função estritamente crescente, côncava para baixo, com tangente vertical em x=1, e que cresce lentamente para +\infty quando x\to\infty.

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