Esboce o gráfico de uma função que satisfaça \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty.
Exercício 22.

Passo 1

O enunciado quer o esboço de uma função f com dois assíntotas verticais em x=0 e x=2, e comportamento nos infinitos e nas imediações dessas verticais dados por: \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to2}f(x)=-\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 e \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty.
O conteúdo é análise de comportamento assintótico e esboço de gráfico.

Passo 2

Identificamos as duas assíntotas verticais:
x=0 \quad\text{e}\quad x=2.
Em torno dessas retas, o gráfico deve disparar para \pm\infty conforme indicado.

Passo 3

Detalhando cada limite junto às verticais:
– Ao nos aproximar de 0 pela direita x\to0^+, f(x)\to+\infty.
– Ao nos aproximar de 0 pela esquerda x\to0^-, f(x)\to-\infty.
– Ao nos aproximar de 2 (por qualquer lado), f(x)\to-\infty.

Passo 4

Agora os limites no infinito:
– Quando x\to-\infty, f(x)\to0. Há, portanto, uma assíntota horizontal y=0 lá atrás.
– Quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty. O gráfico cresce sem limite para a direita.

Passo 5

Montando o esboço em três “ramificações”:
– Para x<0: o gráfico chega quase em y=0 (pela parte positiva ou negativa), desce e, ao se aproximar de 0 por valores menores, mergulha em -\infty.
– Entre 0 e 2: chega em +\infty vindo de 0^+, desce ao longo do intervalo e, ao se aproximar de 2 por valores menores, novamente mergulha em -\infty.
– Para x>2: parte de -\infty logo após 2, sobe gradualmente e cresce até +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

Segue o esboço qualitativo (assíntotas tracejadas, curvas sólidas):
\begin{tikzpicture}[scale=0.9] \draw[->] (-4,0)--(5,0) node[right] {\(x\)}; \draw[->] (0,-4)--(0,4) node[above] {\(y\)}; % assintotas \draw[dashed] (0,-4)--(0,4) node[midway,right] {\(x=0\)}; \draw[dashed] (2,-4)--(2,4) node[midway,right] {\(x=2\)}; \draw[dashed] (-4,0)--(-2,0) node[midway,below] {\(y=0\)}; % ramo x<0 \draw[domain=-4:-0.3,smooth,variable=\x,blue] plot({\x},{-1/(\x) - 0.2*exp(\x)}); % ramo 0<x<2 \draw[domain=0.3:1.9,smooth,variable=\x,blue] plot({\x},{5*(1-\x) / ( (\x)) - 1}); % ramo x>2 \draw[domain=2.1:5,smooth,variable=\x,blue] plot({\x},{(\x-2)^(1.5)}); \end{tikzpicture}
Este desenho exibe:
  1. Assíntotas verticais em x=0 e x=2.
  2. Em x\to0^+, curva em \uparrow\infty; em x\to0^-, curva em \downarrow-\infty.
  3. Em x\to2, ambos os lados vão a -\infty.
  4. Para x\to-\infty, aproxima-se de y=0.
  5. Para x\to+\infty, cresce sem limite até +\infty.

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