Esboce o gráfico de uma função que satisfaça
,
,
.
Exercício 22.
Exercício 22.
Passo 1
O enunciado quer o esboço de uma função
com dois assíntotas verticais em
e
, e comportamento nos infinitos e nas imediações dessas verticais dados por:
,
,
,
e
.
O conteúdo é análise de comportamento assintótico e esboço de gráfico.
O conteúdo é análise de comportamento assintótico e esboço de gráfico.
Passo 2
Identificamos as duas assíntotas verticais:
Em torno dessas retas, o gráfico deve disparar para
conforme indicado.
Passo 3
Detalhando cada limite junto às verticais:
– Ao nos aproximar de pela direita
,
.
– Ao nos aproximar de pela esquerda
,
.
– Ao nos aproximar de (por qualquer lado),
.
– Ao nos aproximar de
– Ao nos aproximar de
– Ao nos aproximar de
Passo 4
Agora os limites no infinito:
– Quando ,
. Há, portanto, uma assíntota horizontal
lá atrás.
– Quando ,
. O gráfico cresce sem limite para a direita.
– Quando
– Quando
Passo 5
Montando o esboço em três “ramificações”:
– Para : o gráfico chega quase em
(pela parte positiva ou negativa), desce e, ao se aproximar de
por valores menores, mergulha em
.
– Entre e
: chega em
vindo de
, desce ao longo do intervalo e, ao se aproximar de
por valores menores, novamente mergulha em
.
– Para : parte de
logo após
, sobe gradualmente e cresce até
quando
.
– Para
– Entre
– Para
Resposta
Segue o esboço qualitativo (assíntotas tracejadas, curvas sólidas):
Este desenho exibe:
- Assíntotas verticais em
e . - Em
, curva em ; em , curva em . - Em
, ambos os lados vão a . - Para
, aproxima-se de . - Para
, cresce sem limite até .