Exercício 24. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{x^{2}+3}.
O conteúdo é comparação de taxas de crescimento de potências de x. Vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador por uma potência de x que simplifique a expressão.

Passo 2

Escrevemos as raízes como potências:
\sqrt{x}=x^{1/2}, \quad \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \quad x^{2}=x^{2}.
Então
\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{x^{2}+3} = \frac{x^{1/2}+x^{1/3}}{x^{2}+3}.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{2}, a maior potência presente no denominador:
\frac{x^{1/2}+x^{1/3}}{x^{2}+3} = \frac{x^{1/2}/x^{2}+x^{1/3}/x^{2}}{1+3/x^{2}} = \frac{x^{-3/2}+x^{-5/3}}{1+3/x^{2}}.

Passo 4

Quando x\to\infty, temos
x^{-3/2}\to0, \quad x^{-5/3}\to0, \quad \frac{3}{x^{2}}\to0.
Logo o numerador tende a 0+0=0 e o denominador a 1+0=1. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-3/2}+x^{-5/3}}{1+3/x^{2}}=\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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