1. Esboce o gráfico da função y=\ln (1+x) e determine a reta normal ao gráfico, que é paralela à reta x+2 y=5.

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos:
  1. Esboçar o gráfico da função y=\ln(1+x).
  2. Encontrar a reta normal ao gráfico que seja paralela à reta x+2y=5.
    Conteúdo envolvido: domínio e forma da curva logarítmica, derivadas (para tangente e normal) e equação de reta.

Passo 2

Esboço de y=\ln(1+x):
  • Domínio: 1+x>0\Rightarrow x>-1.
  • Assíntota vertical em x=-1, pois quando x\to-1^+, \ln(1+x)\to-\infty.
  • Intercepto em (0,0), já que \ln(1+0)=0.
  • Derivadas para forma da curva:
    \displaystyle y'=\frac{1}{1+x}>0 em x>-1, logo a curva é crescente.
    \displaystyle y''=-\frac{1}{(1+x)^2}<0, logo é côncava para baixo.

Passo 3

Equação da reta normal: se m_t é o coeficiente angular da tangente, então o da normal é m_n=-\tfrac{1}{m_t}.
Queremos m_n paralelo a x+2y=5. Essa reta tem forma y=-\tfrac12x+\tfrac52, logo seu coeficiente angular é -\tfrac12.
Portanto
m_n=-\tfrac12.

Passo 4

Como m_n=-\tfrac12 e m_n=-\tfrac{1}{m_t}, temos
-\tfrac{1}{m_t}=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad m_t=2.
Mas m_t=y'=\tfrac{1}{1+x}. Logo
\frac{1}{1+x}=2 \quad\Longrightarrow\quad 1+x=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12.

Passo 5

No ponto x=-\tfrac12, o valor de y é
y=\ln\bigl(1+(-\tfrac12)\bigr)=\ln\tfrac12=-\ln2.
A reta normal, com coeficiente m_n=-\tfrac12 e passando por \bigl(-\tfrac12,\,-\ln2\bigr), obedece
y-(-\ln2)=-\tfrac12\bigl(x-(-\tfrac12)\bigr).
Simplificando,
y+\ln2=-\tfrac12\bigl(x+\tfrac12\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac12x-\tfrac14-\ln2.

Resposta

O esboço de y=\ln(1+x) é uma curva crescente para x>-1, com assíntota vertical em x=-1, passando em (0,0) e côncava para baixo.
A reta normal ao gráfico, paralela a x+2y=5, é
\boxed{y=-\tfrac12x-\tfrac14-\ln2.}

Exercícios relacionados