- Esboce o gráfico da função
e determine a reta normal ao gráfico, que é paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos:
- Esboçar o gráfico da função
. - Encontrar a reta normal ao gráfico que seja paralela à reta
.
Conteúdo envolvido: domínio e forma da curva logarítmica, derivadas (para tangente e normal) e equação de reta.
Passo 2
Esboço de
:
- Domínio:
. - Assíntota vertical em
, pois quando , . - Intercepto em
, já que . - Derivadas para forma da curva:
em , logo a curva é crescente.
, logo é côncava para baixo.
Passo 3
Equação da reta normal: se
é o coeficiente angular da tangente, então o da normal é
.
Queremos paralelo a
. Essa reta tem forma
, logo seu coeficiente angular é
.
Portanto
Queremos
Portanto
Passo 4
Como
e
, temos
Mas
. Logo
Passo 5
No ponto
, o valor de
é
A reta normal, com coeficiente
e passando por
, obedece
Simplificando,
Resposta
O esboço de
é uma curva crescente para
, com assíntota vertical em
, passando em
e côncava para baixo.
A reta normal ao gráfico, paralela a , é
A reta normal ao gráfico, paralela a