1. Se f satisfaz f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) f(x), \forall x \in \mathbb{R}, mostre que existe C tal que f(x)=C \exp [g(x)].

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f que satisfaz, para todo x\in\mathbb{R},
f'(x)=g'(x)\,f(x).
O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial de primeira ordem separável. Nosso objetivo é mostrar que existe uma constante C tal que
f(x)=C\,\exp\bigl[g(x)\bigr].

Passo 2

Sempre que f(x)\neq 0, podemos dividir a igualdade dada por f(x). Isso nos leva a
\frac{f'(x)}{f(x)} = g'(x).
O lado esquerdo \tfrac{f'(x)}{f(x)} é justamente a derivada de \ln|f(x)|. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|f(x)|\bigr) = g'(x).

Passo 3

Definimos a função
h(x) = \ln|f(x)| - g(x).
Calculando a derivada de h,
h'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln|f(x)|\bigr) \;-\; g'(x) = g'(x) - g'(x) = 0.
Como h'(x)=0 para todo x, concluímos que h(x) é constante. Ou seja, existe uma constante K tal que
\ln|f(x)| - g(x) = K.

Passo 4

Reescrevendo a igualdade do passo anterior, temos
\ln|f(x)| = g(x) + K.
Aplicando a exponenciação em ambos os lados obtemos
|f(x)| = \exp\bigl(g(x) + K\bigr) = \exp(K)\,\exp\bigl(g(x)\bigr).
Como \exp(K)>0, podemos chamar C=\pm\exp(K) (incluindo o caso C=0 que dá f\equiv0). Assim
f(x) = C\,\exp\bigl(g(x)\bigr).

Resposta

Existe constante C tal que
f(x)=C\,\exp\bigl[g(x)\bigr].

Exercícios relacionados