Esboce o gráfico da função y=\operatorname{sen}(x / 2).

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
Informações que temos (explicitadas):
  • A expressão da função é y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Não há deslocamento vertical nem horizontal adicional nem fator de amplitude explícito além do seno.
  • O que precisamos obter para esboçar o gráfico: amplitude, período, zeros, máximos e mínimos, comportamento entre esses pontos e simetrias. A partir disso faremos o desenho aproximado.

Passo 2

Conceitos importantes (mini-aula rápida e sem pular passos):
  • Função seno básica: y=\operatorname{sen}(t) tem amplitude 1, período 2\pi, zeros em t=k\pi (com k\in\mathbb{Z}), máximos em t=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi com valor 1 e mínimos em t=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi com valor -1. O gráfico é uma curva ondulatória suave, iniciando em 0 em t=0, subindo para 1 em t=\dfrac{\pi}{2}, voltando a 0 em t=\pi, descendo para -1 em t=\dfrac{3\pi}{2} e completando um período em t=2\pi.
  • Transformação horizontal por fator b: para y=\operatorname{sen}(b x) a variável interna é t=b x. O período em x é
T=\frac{2\pi}{|b|}.
Aqui cada unidade em x é “esticada” ou “comprimida” conforme b.
  • Amplitude e deslocamentos: se a função for A\operatorname{sen}(b x + c)+d, então amplitude é |A|, deslocamento horizontal é -c/b, deslocamento vertical é d. No nosso caso não há A,c,d além de A=1 e c=d=0.
  • Derivada rápida (para entender onde cresce/decresce): \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(b x)=b\cos(b x). Sinal da derivada diz se a curva está subindo ou descendo.

Passo 3

Aplicando às contas para y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right):
  • Identificamos b=\dfrac{1}{2} na forma \operatorname{sen}(b x).
  • Amplitude: |A|=1. Ou seja, os valores variam entre -1 e 1.
  • Período:
T=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi.
Portanto uma oscilação completa em x ocorre a cada 4\pi.
  • Não há deslocamento horizontal nem vertical: eixo central é y=0.

Passo 4

Encontrar os zeros (pontos onde a função vale zero):
Resolver \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\Rightarrow \dfrac{x}{2}=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
Portanto
x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Alguns zeros próximos: x=-2\pi,\;0,\;2\pi,\;4\pi,\dots

Passo 5

Máximos e mínimos:
  • Máximos ocorrem quando \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi. Assim
x=\pi+4k\pi,\qquad y=1.
Ex.: x=\pi,\,5\pi,\dots
  • Mínimos ocorrem quando \dfrac{x}{2}=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi. Assim
x=3\pi+4k\pi,\qquad y=-1.
Ex.: x=3\pi,\,7\pi,\dots

Passo 6

Comportamento dentro de um período (esquematizar para desenhar):
Escolha um período típico, por exemplo o intervalo [0,4\pi]. No intervalo:
  • Em x=0: \operatorname{sen}(0)=0.
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}: argumento \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}, então y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}707.
  • Em x=\pi: argumento \dfrac{\pi}{2}\Rightarrow y=1 (máximo do período).
  • Em x=\dfrac{3\pi}{2}: argumento \dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}707.
  • Em x=2\pi: argumento \pi\Rightarrow y=0.
  • Em x=\dfrac{5\pi}{2}: argumento \dfrac{5\pi}{4}\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}707.
  • Em x=3\pi: argumento \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow y=-1 (mínimo).
  • Em x=\dfrac{7\pi}{2}: argumento \dfrac{7\pi}{4}\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Em x=4\pi: argumento 2\pi\Rightarrow y=0 (volta ao zero e completa o período).
Esses pontos suficientes permitem traçar a curva suave: começa em 0 em x=0, sobe para 1 em x=\pi, volta a 0 em x=2\pi, desce para -1 em x=3\pi e retorna a 0 em x=4\pi.

Passo 7

Monotonicidade (usar a derivada para saber onde sobe ou desce):
A derivada é
y'=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • y'>0 quando \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)>0, ou seja para \dfrac{x}{2}\in(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\tfrac{\pi}{2}+2k\pi), traduzindo em x:
x\in(-\pi+4k\pi,\pi+4k\pi).
Nessas faixas a função está subindo.
  • y'<0 quando \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)<0, ou seja em
x\in(\pi+4k\pi,3\pi+4k\pi),
onde a função está decrescendo.
Isso coincide com o esboço: subida de 0 a 1 em [0,\pi], descida de 1 a 0 em [\pi,2\pi], descida continuada até -1 em 3\pi, etc.

Passo 8

Simetria e extensão para x<0:
  • A função é ímpar porque \operatorname{sen} é ímpar e \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{x}{2}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Logo o gráfico é simétrico em relação à origem (rotação de 180°).
  • Para desenhar para x<0 basta espelhar o pedaço x>0 com sinal trocado.

Passo 9

Como fazer o esboço prático (passo a passo para desenhar na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque o eixo vertical de -1 a 1.
  2. Marque no eixo x os pontos 0,\;\pi,\;2\pi,\;3\pi,\;4\pi (e, se quiser, os meios \tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\ldots).
  3. Coloque os pontos conhecidos: (0,0),\;(\pi,1),\;(2\pi,0),\;(3\pi,-1),\;(4\pi,0).
  4. Coloque pontos intermediários como (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}) e (\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}) para guiar a curvatura.
  5. Una suavemente esses pontos com uma curva senoidal: sobe de 0 até 1 em [0,\pi], volta a 0 em 2\pi, desce até -1 em 3\pi e retorna a 0 em 4\pi. Repita periodicamente para x<0 usando a simetria ímpar.
(Dica amiga: marque o intervalo de um período 4\pi bem largo no eixo x; a curva fica “mais lenta” porque o argumento é x/2, ou seja, esticada horizontalmente em comparação com \operatorname{sen}(x).)

Resposta

Amplitude: 1.
Período: T=4\pi.
Zeros: x=2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Máximos: x=\pi+4k\pi com y=1.
Mínimos: x=3\pi+4k\pi com y=-1.
Pontos úteis no período [0,4\pi]:
(0,0),\;(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;(\pi,1),\;(\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;(2\pi,0),\;(\tfrac{5\pi}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;(3\pi,-1),\;(\tfrac{7\pi}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;(4\pi,0).

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