Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações que temos (explicitadas):
- A expressão da função é
. - Não há deslocamento vertical nem horizontal adicional nem fator de amplitude explícito além do seno.
- O que precisamos obter para esboçar o gráfico: amplitude, período, zeros, máximos e mínimos, comportamento entre esses pontos e simetrias. A partir disso faremos o desenho aproximado.
Passo 2
Conceitos importantes (mini-aula rápida e sem pular passos):
- Função seno básica:
tem amplitude , período , zeros em (com ), máximos em com valor e mínimos em com valor . O gráfico é uma curva ondulatória suave, iniciando em em , subindo para em , voltando a em , descendo para em e completando um período em . - Transformação horizontal por fator
: para a variável interna é . O período em é
Aqui cada unidade em
é “esticada” ou “comprimida” conforme
.
- Amplitude e deslocamentos: se a função for
, então amplitude é , deslocamento horizontal é , deslocamento vertical é . No nosso caso não há além de e . - Derivada rápida (para entender onde cresce/decresce):
. Sinal da derivada diz se a curva está subindo ou descendo.
Passo 3
Aplicando às contas para
:
- Identificamos
na forma . - Amplitude:
. Ou seja, os valores variam entre e . - Período:
Portanto uma oscilação completa em
ocorre a cada
.
- Não há deslocamento horizontal nem vertical: eixo central é
.
Passo 4
Encontrar os zeros (pontos onde a função vale zero):
Resolver com
.
Portanto
Resolver
Portanto
Alguns zeros próximos:
Passo 5
Máximos e mínimos:
- Máximos ocorrem quando
. Assim
Ex.:
- Mínimos ocorrem quando
. Assim
Ex.:
Passo 6
Comportamento dentro de um período (esquematizar para desenhar):
Escolha um período típico, por exemplo o intervalo . No intervalo:
Escolha um período típico, por exemplo o intervalo
- Em
: . - Em
: argumento , então . - Em
: argumento (máximo do período). - Em
: argumento . - Em
: argumento . - Em
: argumento . - Em
: argumento (mínimo). - Em
: argumento . - Em
: argumento (volta ao zero e completa o período).
Esses pontos suficientes permitem traçar a curva suave: começa em
em
, sobe para
em
, volta a
em
, desce para
em
e retorna a
em
.
Passo 7
Monotonicidade (usar a derivada para saber onde sobe ou desce):
A derivada é
A derivada é
-
quando , ou seja para , traduzindo em :
Nessas faixas a função está subindo.
-
quando , ou seja em
onde a função está decrescendo.
Isso coincide com o esboço: subida de a
em
, descida de
a
em
, descida continuada até
em
, etc.
Isso coincide com o esboço: subida de
Passo 8
Simetria e extensão para
:
- A função é ímpar porque
é ímpar e . Logo o gráfico é simétrico em relação à origem (rotação de 180°). - Para desenhar para
basta espelhar o pedaço com sinal trocado.
Passo 9
Como fazer o esboço prático (passo a passo para desenhar na prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . Marque o eixo vertical de a . - Marque no eixo
os pontos (e, se quiser, os meios ). - Coloque os pontos conhecidos:
. - Coloque pontos intermediários como
e para guiar a curvatura. - Una suavemente esses pontos com uma curva senoidal: sobe de
até em , volta a em , desce até em e retorna a em . Repita periodicamente para usando a simetria ímpar.
(Dica amiga: marque o intervalo de um período
bem largo no eixo
; a curva fica “mais lenta” porque o argumento é
, ou seja, esticada horizontalmente em comparação com
.)
Resposta
Amplitude:
.
Período: .
Zeros: ,
.
Máximos: com
.
Mínimos: com
.
Pontos úteis no período :
.
Período:
Zeros:
Máximos:
Mínimos:
Pontos úteis no período