Uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de tamanho a cada hora.
(a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
(b) Quantas bactérias existem após
horas?
(c) Quantas bactérias existem após meia hora? (Considere
.)
(a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
(b) Quantas bactérias existem após
(c) Quantas bactérias existem após meia hora? (Considere
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Informação inicial: a cultura começa com
indivíduos. - Regra de crescimento: a cada
hora o número de bactérias dobra (isto é, multiplica-se por a cada hora). - Perguntas:
(a) Quantas bactérias existem apóshoras?
(b) Quantas bactérias existem apóshoras (fórmula geral)?
(c) Quantas bactérias existem após meia hora?
Passo 2
Modelagem e definição das variáveis (sem resolver ainda).
- Definir
como o número de bactérias após horas. - Condição inicial:
. - Como o tamanho dobra a cada hora, depois de
hora o fator multiplicativo é ; depois de horas o fator é ; depois de horas inteiras o fator é . Portanto faz sentido usar uma potência de para descrever a multiplicação acumulada ao longo do tempo.
Passo 3
Regra geral para horas fracionárias — por que usamos
para qualquer
.
- Explicação intuitiva: se em
hora o fator é , e se quisermos saber o fator em meia hora, chamemos esse fator de . Após duas meias horas teríamos , que deve ser igual a , logo e . Isso mostra que no caso o fator é . - Generalizando, para qualquer
(não só inteiros) o fator multiplicativo acumulado é . Assim a fórmula geral é
onde
é o número de bactérias após
horas e
é o número inicial.
Passo 4
Cálculo da parte (a): substituir
na fórmula.
Calcule
:
. Portanto
Interpretação rápida: dobrar três vezes (500 → 1000 → 2000 → 4000).
Passo 5
Resposta da parte (b): já obtivemos a fórmula geral no Passo 3. Reescrevendo de forma clara:
Aqui
está em horas; para
inteiro dá o número de dobramentos inteiros, e para
fracionário a potência representa a parte fracionária (por exemplo
dá
).
Passo 6
Cálculo da parte (c): meia hora corresponde a
. Usando a fórmula,
O enunciado pede que usemos
. Então
Intuição de checagem: em meia hora não chega a dobrar (1000), mas aumenta de
para cerca de
, o que faz sentido.
Passo 7
Resumo rápido para decorar na prova (dica amigável): sempre que algo “dobra a cada hora” pense em multiplicar por
para cada hora e em potência
para tempo contínuo; a fórmula fica
. Repete mentalmente: “dobrar → base
na potência”.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)