Uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de tamanho a cada hora.
(a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
(b) Quantas bactérias existem após t horas?
(c) Quantas bactérias existem após meia hora? (Considere \sqrt{2} \simeq 1,4.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informação inicial: a cultura começa com 500 indivíduos.
  • Regra de crescimento: a cada 1 hora o número de bactérias dobra (isto é, multiplica-se por 2 a cada hora).
  • Perguntas:
    (a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
    (b) Quantas bactérias existem após t horas (fórmula geral)?
    (c) Quantas bactérias existem após meia hora?

Passo 2

Modelagem e definição das variáveis (sem resolver ainda).
  • Definir P(t) como o número de bactérias após t horas.
  • Condição inicial: P(0)=500.
  • Como o tamanho dobra a cada hora, depois de 1 hora o fator multiplicativo é 2; depois de 2 horas o fator é 2\cdot2=2^{2}; depois de n horas inteiras o fator é 2^{n}. Portanto faz sentido usar uma potência de 2 para descrever a multiplicação acumulada ao longo do tempo.

Passo 3

Regra geral para horas fracionárias — por que usamos 2^{t} para qualquer t.
  • Explicação intuitiva: se em 1 hora o fator é 2, e se quisermos saber o fator em meia hora, chamemos esse fator de r. Após duas meias horas teríamos r\cdot r=r^{2}, que deve ser igual a 2, logo r^{2}=2 e r=\sqrt{2}. Isso mostra que no caso t=\tfrac{1}{2} o fator é 2^{1/2}.
  • Generalizando, para qualquer t (não só inteiros) o fator multiplicativo acumulado é 2^{t}. Assim a fórmula geral é
P(t)=500\cdot 2^{t},
onde P(t) é o número de bactérias após t horas e 500 é o número inicial.

Passo 4

Cálculo da parte (a): substituir t=3 na fórmula.
P(3)=500\cdot 2^{3}.
Calcule 2^{3}: 2^{3}=2\cdot2\cdot2=8. Portanto
P(3)=500\cdot 8=4000.
Interpretação rápida: dobrar três vezes (500 → 1000 → 2000 → 4000).

Passo 5

Resposta da parte (b): já obtivemos a fórmula geral no Passo 3. Reescrevendo de forma clara:
P(t)=500\cdot 2^{t}.
Aqui t está em horas; para t inteiro dá o número de dobramentos inteiros, e para t fracionário a potência representa a parte fracionária (por exemplo t=\tfrac{1}{2} \sqrt{2}).

Passo 6

Cálculo da parte (c): meia hora corresponde a t=\tfrac{1}{2}. Usando a fórmula,
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=500\cdot 2^{1/2}=500\cdot \sqrt{2}.
O enunciado pede que usemos \sqrt{2}\simeq 1,4. Então
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\simeq 500\cdot 1,4 = 700.
Intuição de checagem: em meia hora não chega a dobrar (1000), mas aumenta de 500 para cerca de 700, o que faz sentido.

Passo 7

Resumo rápido para decorar na prova (dica amigável): sempre que algo “dobra a cada hora” pense em multiplicar por 2 para cada hora e em potência 2^{t} para tempo contínuo; a fórmula fica P(t)=P(0)\cdot 2^{t}. Repete mentalmente: “dobrar → base 2 na potência”.

Resposta

(a) 4000
(b) P(t)=500\cdot 2^{t}
(c) 700

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