Esboce o gráfico das funções constantes abaixo, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Esboçar o gráfico de
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Informação adicional relevante dada implicitamente: não foi dada nenhuma restrição sobre
no enunciado.
Passo 2
O que é uma função constante?
Uma função é dita constante quando, para todo no domínio, o valor de saída é o mesmo número
. Em fórmulas:
Uma função é dita constante quando, para todo
Propriedades úteis e intuitivas:
- O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal no plano
na altura . - Se não há restrição na expressão que definirá a função (como denominador que anula, raiz de índice par que exige não-negatividade, log que exige argumento positivo, etc.), o domínio costuma ser todo o conjunto dos números reais
.
Passo 3
Aplicando ao caso
: aqui o número constante é
.
Como , o gráfico será a reta horizontal que coincidirá com o eixo
(porque o eixo
é a reta
).
Como
Como esboçar na prática (passo a passo que dá pra fazer na prova com lápis):
- Desenhe o sistema de eixos: eixo horizontal
e eixo vertical . - Marque o ponto
no eixo vertical (é a própria origem). - Desenhe a reta horizontal que passa por
. Essa reta é exatamente o próprio eixo . - Para conferir, marque alguns pontos que pertencem ao gráfico: por exemplo
, , . Todos satisfazem .
Passo 4
Determinar o domínio (definição e aplicação):
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida).
No caso de não há denominador, raiz, logaritmo nem nenhuma outra operação que restrinja
. Portanto a expressão está bem definida para todo número real. Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os reais, que se escreve
.
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
No caso de
Passo 5
Determinar a imagem (definição e aplicação):
Imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto dos valores que realmente assume quando
varia pelo domínio.
Aqui, por definição, para qualquer do domínio vale
. Isso mostra que o conjunto de valores atingidos por
está contido em
. E como existe pelo menos um
(por exemplo
) tal que
, o valor
é realmente atingido. Logo a imagem é exatamente
.
Imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto dos valores que
Aqui, por definição, para qualquer
Passo 6
Observações finais úteis para prova (dicas e linguagem prática):
- O gráfico é a reta horizontal
(o próprio eixo ). Em desenho, basta traçar o eixo e dizer que a função coincide com ele. - Toda função constante
tem domínio tipicamente (a menos que o enunciado diga outra coisa) e imagem . - Para identificar domínio rapidamente: procure na expressão por coisas que possam causar problema (divisão por zero, raízes pares, log de número não-positivo). Aqui não há nada disso, então domínio é
. - Um comentário motivador: você já venceu a parte visual — função constante é das mais simples. Respira, pronto! 😉
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: