Esboce o gráfico das funções definidas por partes
f(x)= \begin{cases}2 x+3 & \text { if } x<-1 \\ 3-x & \text { if } x \geq-1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x<-1,\\\\ 3-x, & x\ge-1. \end{cases}
O conteúdo aqui é “gráficos de funções lineares” e o que precisamos fazer é:
  1. Identificar cada ramo como uma reta.
  2. Determinar pontos-chave (incluindo no ponto de transição x=-1).
  3. Marcar círculos abertos (quando o ramo não inclui o ponto) ou fechados (quando inclui).

Passo 2

Analisando o ramo x<-1:
– A reta é \;y=2x+3, com coeficiente angular 2 e intercepto em y=3.
– Em x=-1, obtemos y=2(-1)+3=1, mas como x=-1 não pertence a este ramo, marcamos um círculo aberto em (-1,1).
– Para fixar a inclinação, escolhemos outro ponto, por exemplo x=-2:
y=2(-2)+3=-4+3=-1,
logo passa por (-2,-1).

Passo 3

Analisando o ramo x\ge-1:
– A reta é \;y=3-x, com coeficiente angular -1 e intercepto em y=3.
– Em x=-1, obtemos y=3-(-1)=4, e como este ramo inclui x=-1, marcamos um círculo fechado em (-1,4).
– Outros pontos: em x=0 tem y=3, em x=3 tem y=0, o que basta para traçar a reta descendente.

Passo 4

Para montar o esboço final:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a reta y=2x+3 apenas para x<-1, passando por (-2,-1) e aproximando-se de (-1,1) com círculo aberto.
  3. Trace a reta y=3-x para x\ge-1, passando por (-1,4) (círculo fechado), depois por (0,3), (3,0) etc.

Resposta

O gráfico é formado por dois “ramps” lineares:
– Para x<-1, a reta y=2x+3 com círculo aberto em (-1,1).
– Para x\ge-1, a reta y=3-x com círculo fechado em (-1,4).

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