Esboce o gráfico das funções.
f(x, y)=y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x,y)=y^{2}+1.
Informações dadas:
  • A função é f\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=y^{2}+1.
  • Não há restrição explícita ao domínio, portanto o domínio é todo o plano: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\}.
  • O que se pede é o gráfico tridimensional (conjunto de pontos (x,y,z) com z=f(x,y)).

Passo 2

O que significa “gráfico” aqui: o gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=f(x,y)\}.
No nosso caso isso dá a descrição paramétrica simples
(x,y,z)=(x,y,y^{2}+1),
onde x e y variam livremente em \mathbb{R}. Ou seja, para cada par (x,y) há um ponto no espaço com altura z=y^{2}+1.

Passo 3

Análise do domínio e da imagem (range):
  • Como y^{2}\ge 0 para todo y, temos y^{2}+1\ge 1. Logo a imagem (valores possíveis de z) é \{z\in\mathbb{R}\mid z\ge 1\}.
  • O mínimo de z ocorre quando y=0, dando z_{\min}=1. Não há máximo.

Passo 4

Observação importante: a função não depende de x. Isso implica que o gráfico é invariante por translação ao longo do eixo x. Em termos geométricos, o gráfico é uma superfície obtida ao “extrudar” a parábola do plano y\!-\!z ao longo do eixo x. Essa superfície chama-se cilindro parabólico (parabolic cylinder) com direção de extrusão paralela ao eixo x.

Passo 5

Traços/Seções úteis para entender e desenhar:
  • Seção por plano x=x_{0} (fixar x): a interseção do gráfico com esse plano é a curva no plano (y,z) dada por z=y^{2}+1,que é uma parábola com vértice em (y,z)=(0,1) e abertura para cima.
  • Seção por plano y=y_{0} (fixar y): a interseção é a reta paralela ao eixo x com equação z=y_{0}^{2}+1,ou seja, para cada y_{0} a altura é constante e a interseção é uma linha paralela ao eixo x.

Passo 6

Curvas de nível (projeção no plano xy):
Numa curva de nível para valor c temos y^{2}+1=c, isto é
y^{2}=c-1.
  • Se c<1: não existem curvas de nível (nenhum ponto do gráfico tem essa altura).
  • Se c=1: a curva de nível é y=0 (reta horizontal no plano xy).
  • Se c>1: as curvas de nível são duas retas paralelas ao eixo x: y=\pm\sqrt{c-1}.
    Essas curvas de nível são linhas retas paralelas ao eixo x porque z não depende de x.

Passo 7

Pontos notáveis e valores para esboçar:
  • Vértice/linha de mínimo: para todo x, quando y=0 tem z=1. Essa é a reta no espaço dada por \{(x,0,1)\mid x\in\mathbb{R}\} — a “crista” mais baixa da superfície.
  • Para y=\pm 1 temos z=2. Para y=\pm 2 temos z=5. Esses pares (y,z) servem para desenhar as parábolas nas seções x= const e depois estender ao longo de x.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (fazer à mão, sem complicação):
  1. Desenhe três eixos: x para a direita (ou para fora do plano), y horizontal no plano da folha e z vertical para cima.
  2. No plano vertical que contém o eixo y e o eixo z (ou seja, a seção x=0), desenhe a parábola z=y^{2}+1: vértice em (y,z)=(0,1), passa por (\pm 1,2), (\pm 2,5).
  3. A partir dessa parábola, “puxe” ou “estenda” a curva ao longo do eixo x em ambos os sentidos, desenhando linhas paralelas ao eixo x que mantêm a mesma forma parabólica em cada plano x= constante. O resultado é um cilindro parabólico com a forma da parábola em cada seção x= const.
  4. Marque a linha de vértices \{(x,0,1)\} como a linha mais baixa que corre paralela ao eixo x.

Passo 9

Comparações rápidas para fixar a intuição:
  • f(x,y)=y^{2} é igual, exceto deslocada para baixo: aqui o mínimo está em z=0; no nosso caso o gráfico é igual deslocado para cima em 1 unidade.
  • f(x,y)=x^{2}+y^{2} é um paraboloide (dependência em x e y simultânea) — diferente do nosso, porque aqui a dependência é só em y, por isso o objeto é um cilindro (infinito) ao longo de x.

Passo 10

Resumo em palavras bem direta e útil para a prova:
  • O gráfico de f(x,y)=y^{2}+1 é um cilindro parabólico com eixos paralelos ao eixo x, gerado pela parábola z=y^{2}+1 no plano x= constante. Tem linha de mínimos \{(x,0,1)\} e imagem z\ge 1.

Resposta

O gráfico é um cilindro parabólico: a superfície dada por z=y^{2}+1, obtida ao extrudar a parábola z=y^{2}+1 ao longo do eixo x; linha de mínimos \{(x,0,1)\} e imagem z\ge 1.

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