Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A função é
definida por . - Não há restrição explícita ao domínio, portanto o domínio é todo o plano:
. - O que se pede é o gráfico tridimensional (conjunto de pontos
com ).
Passo 2
O que significa “gráfico” aqui: o gráfico de uma função de duas variáveis
é o conjunto
No nosso caso isso dá a descrição paramétrica simples
onde
e
variam livremente em
. Ou seja, para cada par
há um ponto no espaço com altura
.
Passo 3
Análise do domínio e da imagem (range):
- Como
para todo , temos . Logo a imagem (valores possíveis de ) é . - O mínimo de
ocorre quando , dando . Não há máximo.
Passo 4
Observação importante: a função não depende de
. Isso implica que o gráfico é invariante por translação ao longo do eixo
. Em termos geométricos, o gráfico é uma superfície obtida ao “extrudar” a parábola do plano
ao longo do eixo
. Essa superfície chama-se cilindro parabólico (parabolic cylinder) com direção de extrusão paralela ao eixo
.
Passo 5
Traços/Seções úteis para entender e desenhar:
- Seção por plano
(fixar ): a interseção do gráfico com esse plano é a curva no plano dada por que é uma parábola com vértice em e abertura para cima. - Seção por plano
(fixar ): a interseção é a reta paralela ao eixo com equação ou seja, para cada a altura é constante e a interseção é uma linha paralela ao eixo .
Passo 6
Curvas de nível (projeção no plano
):
Numa curva de nível para valor temos
, isto é
Numa curva de nível para valor
- Se
: não existem curvas de nível (nenhum ponto do gráfico tem essa altura). - Se
: a curva de nível é (reta horizontal no plano ). - Se
: as curvas de nível são duas retas paralelas ao eixo : .
Essas curvas de nível são linhas retas paralelas ao eixoporque não depende de .
Passo 7
Pontos notáveis e valores para esboçar:
- Vértice/linha de mínimo: para todo
, quando tem . Essa é a reta no espaço dada por — a “crista” mais baixa da superfície. - Para
temos . Para temos . Esses pares servem para desenhar as parábolas nas seções const e depois estender ao longo de .
Passo 8
Como esboçar passo a passo (fazer à mão, sem complicação):
- Desenhe três eixos:
para a direita (ou para fora do plano), horizontal no plano da folha e vertical para cima. - No plano vertical que contém o eixo
e o eixo (ou seja, a seção ), desenhe a parábola : vértice em , passa por , . - A partir dessa parábola, “puxe” ou “estenda” a curva ao longo do eixo
em ambos os sentidos, desenhando linhas paralelas ao eixo que mantêm a mesma forma parabólica em cada plano constante. O resultado é um cilindro parabólico com a forma da parábola em cada seção const. - Marque a linha de vértices
como a linha mais baixa que corre paralela ao eixo .
Passo 9
Comparações rápidas para fixar a intuição:
-
é igual, exceto deslocada para baixo: aqui o mínimo está em ; no nosso caso o gráfico é igual deslocado para cima em 1 unidade. -
é um paraboloide (dependência em e simultânea) — diferente do nosso, porque aqui a dependência é só em , por isso o objeto é um cilindro (infinito) ao longo de .
Passo 10
Resumo em palavras bem direta e útil para a prova:
- O gráfico de
é um cilindro parabólico com eixos paralelos ao eixo , gerado pela parábola no plano constante. Tem linha de mínimos e imagem .
Resposta
O gráfico é um cilindro parabólico: a superfície dada por
, obtida ao extrudar a parábola
ao longo do eixo
; linha de mínimos
e imagem
.