Esboce o gráfico das funções.
f(x, y)=1+2 x^{2}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função \,f(x,y)=1+2x^{2}+2y^{2}.\n
Informações que já temos do enunciado:
  • A função é dada explicitamente por \,f(x,y)=1+2x^{2}+2y^{2}.
  • Não há restrição indicada para (x,y), então o domínio é todo o plano: \,\mathbb{R}^{2}.
  • O pedido é um esboço do gráfico tridimensional da superfície \,z=f(x,y), além de entender como são as curvas de nível e as seções que ajudam no desenho.

Passo 2

Vamos escrever a superfície em forma explícita para visualizarmos: \,z=f(x,y)=1+2x^{2}+2y^{2}.
Isto significa que para cada ponto (x,y) no plano o ponto correspondente na superfície tem coordenada vertical z dada por essa expressão. Primeiro passo prático para esboçar: encontrar pontos críticos (possíveis mínimos ou máximos) porque eles nos dizem o “fundo” da taça ou o “topo” do monte.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y.
Para pontos críticos igualamos as duas a zero:
4x=0,\qquad 4y=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\;y=0.
Logo existe um único ponto crítico no plano: (0,0). O valor da função ali é
f(0,0)=1+2\cdot0^{2}+2\cdot0^{2}=1.

Passo 3

Agora classificamos o ponto crítico usando as derivadas segundas (o teste da Hessiana). Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=4,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=4,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Os autovalores de H são 4 e 4, ambos positivos. Portanto H é definida positiva e o ponto (0,0) é um mínimo local. Como a expressão cresce sem limite quando |x| ou |y| aumentam, esse mínimo é global. Conclusão: a superfície tem um único mínimo global em (0,0,1).]

Passo 4

Para entender a forma geral da superfície, olhemos para as curvas de nível (contours). As curvas de nível são dadas por f(x,y)=c para constantes c. Escrevemos
1+2x^{2}+2y^{2}=c.
Isolando os termos quadráticos:
2x^{2}+2y^{2}=c-1\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=\frac{c-1}{2}.
Portanto, para cada c\ge1 a curva de nível é um círculo centrado na origem de raio
r=\sqrt{\frac{c-1}{2}}.
Para c<1 não há pontos (pois o lado esquerdo é \ge0). Isso já diz muito: curvas de nível são círculos concêntricos crescendo à medida que c aumenta — característica de um “bowl” (paraboloide elíptico).

Passo 5

Uma visão mais simples usando coordenadas polares: ponha x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
f(r,\theta)=1+2r^{2}.
Observe que não há dependência em \theta: a superfície é rotacionalmente simétrica em torno do eixo z. Em função de r, z cresce como 1+2r^{2} — é um paraboloide que abre para cima.

Passo 6

Estude seções para ajudar no esboço manual:
  • Seção por \,y=0: temos \,z=1+2x^{2}. É uma parábola no plano xz.
  • Seção por \,x=0: temos \,z=1+2y^{2}. Mesma parábola no plano yz.
  • Seção por y=mx: substituindo dá \,z=1+2x^{2}+2m^{2}x^{2}=1+2(1+m^{2})x^{2}. Continua sendo uma parábola, com curvatura maior quando m é maior (ou seja, se a direção não for alinhada com os eixos a parábola fica mais “fechada”).
Essas seções mostram que qualquer plano vertical passando pela origem corta a superfície em uma parábola com vértice em z=1.

Passo 7

Dicas práticas para esboçar (passo a passo, como fazer à mão na prova):
  1. Desenhe os três eixos: x, y no plano horizontal e z vertical. Marque o ponto (0,0,1) sobre o eixo z — esse é o vértice da taça.
  2. Trace as seções principais: desenhe a parábola no plano xz correspondente a y=0, com vértice em (0,0,1) e abrindo para cima; repita no plano yz.
  3. No plano horizontal (planta), desenhe as curvas de nível concêntricas: escolha alguns níveis úteis, por exemplo c=1,\,3,\,5:
    • Para c=1: raio r=0 (o vértice).
    • Para c=3: r=\sqrt{\tfrac{3-1}{2}}=\sqrt{1}=1.
    • Para c=5: r=\sqrt{\tfrac{5-1}{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}414.
      Marque esses círculos concêntricos no plano xy.
  4. Ligue visualmente cada círculo a uma “altura” z=c — isso ajuda a ver que os círculos sobem conforme se afasta do centro, formando a taça.
  5. Como verificação rápida: para grandes |x| ou |y| a função cresce como 2x^{2}+2y^{2}, então fica cada vez mais alta — sem assíntotas, abre indefinidamente.

Passo 8

Resumo conceitual (para decorar e usar em provas): a função \,f(x,y)=1+2x^{2}+2y^{2} representa um paraboloide elíptico (aqui, na verdade, é circular por simetria, mas às vezes chamamos de elíptico de coeficientes iguais), simétrico em torno do eixo z, com único mínimo global em (0,0,1). Curvas de nível são círculos centrados na origem com raio \sqrt{(c-1)/2}. Se você desenhar as parábolas nas seções e os círculos na planta e “elevar” cada círculo até sua altura correspondente, o esboço fica claro.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico z=1+2x^{2}+2y^{2} com mínimo global em (0,0,1). As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por x^{2}+y^{2}=\dfrac{c-1}{2} para c\ge1 (raio r=\sqrt{\tfrac{c-1}{2}}).

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