Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.\n
Informações que já temos do enunciado:
Informações que já temos do enunciado:
- A função é dada explicitamente por
- Não há restrição indicada para
, então o domínio é todo o plano: - O pedido é um esboço do gráfico tridimensional da superfície
, além de entender como são as curvas de nível e as seções que ajudam no desenho.
Passo 2
Vamos escrever a superfície em forma explícita para visualizarmos:
Isto significa que para cada ponto no plano o ponto correspondente na superfície tem coordenada vertical
dada por essa expressão. Primeiro passo prático para esboçar: encontrar pontos críticos (possíveis mínimos ou máximos) porque eles nos dizem o “fundo” da taça ou o “topo” do monte.
Isto significa que para cada ponto
Calcule as derivadas parciais:
Para pontos críticos igualamos as duas a zero:
Logo existe um único ponto crítico no plano:
. O valor da função ali é
Passo 3
Agora classificamos o ponto crítico usando as derivadas segundas (o teste da Hessiana). Calcule as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
Os autovalores de
são
e
, ambos positivos. Portanto
é definida positiva e o ponto
é um mínimo local. Como a expressão cresce sem limite quando
ou
aumentam, esse mínimo é global. Conclusão: a superfície tem um único mínimo global em
.]
Passo 4
Para entender a forma geral da superfície, olhemos para as curvas de nível (contours). As curvas de nível são dadas por
para constantes
. Escrevemos
Isolando os termos quadráticos:
Portanto, para cada
a curva de nível é um círculo centrado na origem de raio
Para
não há pontos (pois o lado esquerdo é
). Isso já diz muito: curvas de nível são círculos concêntricos crescendo à medida que
aumenta — característica de um “bowl” (paraboloide elíptico).
Passo 5
Uma visão mais simples usando coordenadas polares: ponha
e
. Então
Observe que não há dependência em
: a superfície é rotacionalmente simétrica em torno do eixo
. Em função de
,
cresce como
— é um paraboloide que abre para cima.
Passo 6
Estude seções para ajudar no esboço manual:
- Seção por
: temos . É uma parábola no plano . - Seção por
: temos . Mesma parábola no plano . - Seção por
: substituindo dá . Continua sendo uma parábola, com curvatura maior quando é maior (ou seja, se a direção não for alinhada com os eixos a parábola fica mais “fechada”).
Essas seções mostram que qualquer plano vertical passando pela origem corta a superfície em uma parábola com vértice em
.
Passo 7
Dicas práticas para esboçar (passo a passo, como fazer à mão na prova):
- Desenhe os três eixos:
, no plano horizontal e vertical. Marque o ponto sobre o eixo — esse é o vértice da taça. - Trace as seções principais: desenhe a parábola no plano
correspondente a , com vértice em e abrindo para cima; repita no plano . - No plano horizontal (planta), desenhe as curvas de nível concêntricas: escolha alguns níveis úteis, por exemplo
: - Para
: raio (o vértice). - Para
: . - Para
: .
Marque esses círculos concêntricos no plano.
- Para
- Ligue visualmente cada círculo a uma “altura”
— isso ajuda a ver que os círculos sobem conforme se afasta do centro, formando a taça. - Como verificação rápida: para grandes
ou a função cresce como , então fica cada vez mais alta — sem assíntotas, abre indefinidamente.
Passo 8
Resumo conceitual (para decorar e usar em provas): a função
representa um paraboloide elíptico (aqui, na verdade, é circular por simetria, mas às vezes chamamos de elíptico de coeficientes iguais), simétrico em torno do eixo
, com único mínimo global em
. Curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
. Se você desenhar as parábolas nas seções e os círculos na planta e “elevar” cada círculo até sua altura correspondente, o esboço fica claro.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico
com mínimo global em
. As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por
para
(raio
).