Esboce o gráfico das funções.
f(x, y)=10-4 x-5 y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y.
Informações dadas:
  • A função está definida para pares (x,y) reais.
  • A saída da função é um número real z=f(x,y).
    O que se quer: desenhar/geometricamente representar o conjunto de pontos (x,y,z) no espaço tridimensional que satisfazem z=f(x,y).

Passo 2

Entender o que significa “gráfico” no caso de uma função de duas variáveis.
Definição útil (explicada devagar): o gráfico de f é o conjunto de pontos (x,y,z) em que o terceiro coordenado z é exatamente o valor da função para (x,y). Ou seja,
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 10-4x-5y\}.
Reescrevendo essa igualdade numa forma padrão de plano:
4x+5y+z=10.
Isto mostra imediatamente que o gráfico é um plano no espaço. Uma boa forma de esboçar um plano é encontrar alguns pontos notáveis por onde ele passa.

Passo 3

Achar os interceptos com os eixos coordenados (pontos fáceis de marcar no esboço). Esses pontos são obtidos impondo duas coordenadas iguais a zero e resolvendo para a terceira.
  • Intercepto com o eixo z: colocar x=0 e y=0. Então
z = 10 - 4\cdot 0 - 5\cdot 0 = 10.
Logo o ponto é (0,0,10).
  • Intercepto com o eixo x: colocar y=0 e z=0. Então
0 = 10 - 4x - 5\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 4x = 10 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{10}{4} = 2{,}5.
Ponto: \left(2{,}5,\,0,\,0\right).
  • Intercepto com o eixo y: colocar x=0 e z=0. Então
0 = 10 - 4\cdot 0 - 5y \quad\Rightarrow\quad 5y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Ponto: \left(0,\,2,\,0\right).
Esses três pontos não são colineares, portanto determinam o plano.

Passo 4

Interpretação geométrica com passo a passo de desenho:
  • Primeiro, desenhar um sistema de eixos x, y (no plano horizontal) e z (vertical).
  • Marcar o ponto (0,0,10) no eixo z acima da origem.
  • Marcar \left(2{,}5,0,0\right) no eixo x (à direita da origem se o eixo x estiver à direita).
  • Marcar \left(0,2,0\right) no eixo y (para frente ou à esquerda conforme convenção do desenho).
  • Traçar a superfície planar que passa por esses três pontos: isso pode ser feito desenhando o triângulo formado por eles e estendendo levemente suas faces para indicar que é um plano infinito.
Dica prática para prova: usar esses três pontos é o suficiente para um esboço rápido e correto do plano.

Passo 5

Analisar inclinações do plano por cortes em retas coordenadas (isso ajuda a entender a “inclinação” do plano ao esboçar):
  • Corte com a reta y=0 (plano xz): para y=0 vale
z = 10 - 4x.
Isto é uma reta no plano xz com intercepto z(0)=10 e coeficiente angular -4. Ou seja, ao andar uma unidade para a direita em x, z diminui 4 unidades. No esboço, a seção do plano nessa direção desce rapidamente.
  • Corte com a reta x=0 (plano yz): para x=0 vale
z = 10 - 5y.
Isto é uma reta no plano yz com intercepto z(0)=10 e coeficiente angular -5. Ou seja, ao aumentar y em uma unidade, z diminui 5 unidades. Portanto o plano está mais inclinado na direção y do que na direção x.
Exemplo numérico para intuição: \,f(1,1)=10-4\cdot1-5\cdot1=1. Então o ponto (1,1,1) também pertence ao plano; pode marcar esse ponto se quiser uma referência adicional.

Passo 6

Usar curvas de nível (contornos) para ajudar no esboço projetado no plano xy. Curvas de nível são as linhas no plano xy onde z é constante. Para z=c:
10-4x-5y = c \quad\Rightarrow\quad 4x+5y = 10-c.
Isto é uma família de retas paralelas no plano xy com inclinação -\dfrac{4}{5}. Cada valor diferente de c desloca a reta (paralela). No esboço, projetar algumas dessas retas (por exemplo c=0,\,c=5,\,c=10) mostra como o plano corta o espaço: para c=10 a reta é 4x+5y=0 (passando pela origem), para c=0 a reta é 4x+5y=10 (a interseção com o plano z=0 que já usamos).

Passo 7

Identificar o vetor normal ao plano (útil para desenhos mais formais). A forma 4x+5y+z=10 dá o vetor normal
\mathbf{n} = (4,\,5,\,1).
Significado: \mathbf{n} é perpendicular ao plano. Se quiser indicar orientação no esboço, desenhar uma pequena seta na direção (4,5,1) a partir de um ponto do plano mostra a normal.

Passo 8

Resumo prático para esboçar à mão na prova (passos rápidos):
  1. Desenhar eixos x,y,z.
  2. Marcar (0,0,10), (2{,}5,0,0) e (0,2,0).
  3. Ligar esses pontos formando um triângulo e estender faces para sugerir o plano inteiro.
  4. Opcional: marcar mais um ponto como (1,1,1) para conferir posição; traçar as seções em y=0 e x=0 para dar a inclinação correta; desenhar algumas curvas de nível projetadas no plano xy para reforço.
    Observação motivadora: começar pelos interceptos faz o desenho ficar muito rápido e confiável — é a técnica que mais funciona em prova.

Resposta

O gráfico é o plano \,4x+5y+z=10\, (ou, equivalente, \,z=10-4x-5y\,), que passa pelos pontos (0,0,10), (2{,}5,0,0) e (0,2,0).

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