Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função está definida para pares
reais. - A saída da função é um número real
.
O que se quer: desenhar/geometricamente representar o conjunto de pontosno espaço tridimensional que satisfazem .
Passo 2
Entender o que significa “gráfico” no caso de uma função de duas variáveis.
Definição útil (explicada devagar): o gráfico de é o conjunto de pontos
em que o terceiro coordenado
é exatamente o valor da função para
. Ou seja,
Definição útil (explicada devagar): o gráfico de
Reescrevendo essa igualdade numa forma padrão de plano:
Isto mostra imediatamente que o gráfico é um plano no espaço. Uma boa forma de esboçar um plano é encontrar alguns pontos notáveis por onde ele passa.
Passo 3
Achar os interceptos com os eixos coordenados (pontos fáceis de marcar no esboço). Esses pontos são obtidos impondo duas coordenadas iguais a zero e resolvendo para a terceira.
- Intercepto com o eixo
: colocar e . Então
Logo o ponto é
.
- Intercepto com o eixo
: colocar e . Então
Ponto:
.
- Intercepto com o eixo
: colocar e . Então
Ponto:
.
Esses três pontos não são colineares, portanto determinam o plano.
Passo 4
Interpretação geométrica com passo a passo de desenho:
- Primeiro, desenhar um sistema de eixos
, (no plano horizontal) e (vertical). - Marcar o ponto
no eixo acima da origem. - Marcar
no eixo (à direita da origem se o eixo estiver à direita). - Marcar
no eixo (para frente ou à esquerda conforme convenção do desenho). - Traçar a superfície planar que passa por esses três pontos: isso pode ser feito desenhando o triângulo formado por eles e estendendo levemente suas faces para indicar que é um plano infinito.
Dica prática para prova: usar esses três pontos é o suficiente para um esboço rápido e correto do plano.
Passo 5
Analisar inclinações do plano por cortes em retas coordenadas (isso ajuda a entender a “inclinação” do plano ao esboçar):
- Corte com a reta
(plano ): para vale
Isto é uma reta no plano
com intercepto
e coeficiente angular
. Ou seja, ao andar uma unidade para a direita em
,
diminui
unidades. No esboço, a seção do plano nessa direção desce rapidamente.
- Corte com a reta
(plano ): para vale
Isto é uma reta no plano
com intercepto
e coeficiente angular
. Ou seja, ao aumentar
em uma unidade,
diminui
unidades. Portanto o plano está mais inclinado na direção
do que na direção
.
Exemplo numérico para intuição:
. Então o ponto
também pertence ao plano; pode marcar esse ponto se quiser uma referência adicional.
Passo 6
Usar curvas de nível (contornos) para ajudar no esboço projetado no plano
. Curvas de nível são as linhas no plano
onde
é constante. Para
:
Isto é uma família de retas paralelas no plano
com inclinação
. Cada valor diferente de
desloca a reta (paralela). No esboço, projetar algumas dessas retas (por exemplo
) mostra como o plano corta o espaço: para
a reta é
(passando pela origem), para
a reta é
(a interseção com o plano
que já usamos).
Passo 7
Identificar o vetor normal ao plano (útil para desenhos mais formais). A forma
dá o vetor normal
Significado:
é perpendicular ao plano. Se quiser indicar orientação no esboço, desenhar uma pequena seta na direção
a partir de um ponto do plano mostra a normal.
Passo 8
Resumo prático para esboçar à mão na prova (passos rápidos):
- Desenhar eixos
. - Marcar
, e . - Ligar esses pontos formando um triângulo e estender faces para sugerir o plano inteiro.
- Opcional: marcar mais um ponto como
para conferir posição; traçar as seções em e para dar a inclinação correta; desenhar algumas curvas de nível projetadas no plano para reforço.
Observação motivadora: começar pelos interceptos faz o desenho ficar muito rápido e confiável — é a técnica que mais funciona em prova.
Resposta
O gráfico é o plano
(ou, equivalente,
), que passa pelos pontos
,
e
.