Esboce o gráfico das funções, 5 \operatorname{sen}(754 t), \operatorname{sen}\left(377 t+60^{\circ}\right) e -7,6 \operatorname{sen}(43,6 t) usando como unidade do eixo das abscissas:
(a) o ângulo em graus
(b) o ângulo em radianos
(c) o tempo em segundos

Passo 1

O enunciado pede para esboçar três funções do tipo seno, mudando apenas a unidade do eixo horizontal (abscissas): (a) ângulo em graus, (b) ângulo em radianos e (c) tempo em segundos. O conteúdo principal é entender amplitude, período e defasagem de uma onda senoidal. Para isso precisamos extrair de cada função sua amplitude A, sua frequência angular \omega, seu período T e sua fase \varphi.

Passo 2

Vamos primeiro identificar, para cada função, \displaystyle A, \displaystyle \omega, T e \varphi.
Função 1:
y_1(t)=5\sin\bigl(754\,t\bigr).
Amplitude A_1=5.
Frequência angular \omega_1=754,rad/s.
Período em segundos
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{754}\,\text{s}.
Não há defasagem (fase \varphi_1=0).
Função 2:
y_2(t)=\sin\bigl(377\,t+60^\circ\bigr).
Amplitude A_2=1.
Frequência angular \omega_2=377,rad/s.
Período em segundos
T_2=\frac{2\pi}{377}\,\text{s}.
Fase em graus \varphi_2=60^\circ, em radianos \varphi_2=\pi/3.
Função 3:
y_3(t)=-7{,}6\sin\bigl(43{,}6\,t\bigr).
Amplitude A_3=7{,}6 (o sinal menos inverte a onda).
Frequência angular \omega_3=43{,}6,rad/s.
Período em segundos
T_3=\frac{2\pi}{43{,}6}\,\text{s}.
Fase \varphi_3=0, mas há inversão de sinal (equivale a defasagem de 180^\circ ou \pi rad).

Passo 3

(a) Eixo das abscissas em graus. Defina o ângulo genérico no eixo como \theta medido em graus de 0^\circ a 360^\circ.
  • Para \,y_1: escrevemos \theta=754\,t em rad convertidos para graus, mas no esboço basta notar que vira
y_1(\theta)=5\operatorname{sen}(\theta),
com amplitude 5 e período 360^\circ.
  • Para \,y_2: fica
y_2(\theta)=\operatorname{sen}(\theta+60^\circ),
amplitude 1, período 360^\circ, defasagem de 60^\circ para a esquerda.
  • Para \,y_3: vira
y_3(\theta)=-7{,}6\operatorname{sen}(\theta),
amplitude 7,6, período 360^\circ e inversão vertical (crestas viram vales).
No esboço, em cada caso marque: máximo em y=A, mínimo em y=-A, zeros em \theta=0,180^\circ,360^\circ (ajustando a fase).

Passo 4

(b) Eixo das abscissas em radianos. Chame o ângulo genérico de x variando de 0 a 2\pi.
  • \displaystyle y_1(x)=5\operatorname{sen}(x), amplitude 5, período 2\pi.
  • \displaystyle y_2(x)=\operatorname{sen}\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr), amplitude 1, período 2\pi, defasagem \pi/3 rad à esquerda.
  • \displaystyle y_3(x)=-7{,}6\operatorname{sen}(x), amplitude 7,6, período 2\pi, invertida verticalmente.
    No esboço, marque os pontos-chave em x=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi.

Passo 5

(c) Eixo das abscissas em tempo t (segundos). Aqui plote cada função em função de t, usando seus períodos calculados:
  • \displaystyle y_1(t)=5\operatorname{sen}(754\,t) tem T_1=\tfrac{2\pi}{754}. No eixo do tempo, marque um ciclo completo de t=0 até t=T_1, com amplitude 5.
  • \displaystyle y_2(t)=\operatorname{sen}\bigl(377\,t+\tfrac{\pi}{3}\bigr) tem T_2=\tfrac{2\pi}{377}. A defasagem corresponde a um deslocamento horizontal
\Delta t=-\frac{\varphi_2}{\omega_2}=-\frac{\pi/3}{377}
(sinal negativo significa que o pico de fase +60^\circ ocorre antes de t=0). Amplitude 1.
  • \displaystyle y_3(t)=-7{,}6\operatorname{sen}(43{,}6\,t) tem T_3=\tfrac{2\pi}{43{,}6}, amplitude 7,6 e onda invertida.
    No esboço, em cada gráfico de y versus t marque t=0, t=T/4, t=T/2, 3T/4, T e valores de y nos máximos e mínimos.

Resposta

(a) Gráficos senoidais de mesma forma:
  • y_1(\theta)=5\operatorname{sen}\theta, y_2(\theta)=\operatorname{sen}(\theta+60^\circ), y_3(\theta)=-7{,}6\operatorname{sen}\theta, todos com período 360^\circ.
(b) Gráficos em rad:
  • y_1(x)=5\operatorname{sen} x, y_2(x)=\operatorname{sen}(x+\pi/3), y_3(x)=-7{,}6\operatorname{sen} x, todos com período 2\pi.
(c) Gráficos em t:
  • y_1(t)=5\operatorname{sen}(754t), T_1=2\pi/754.
  • y_2(t)=\operatorname{sen}(377t+\pi/3), T_2=2\pi/377, defasagem -\tfrac{\pi/3}{377}.
  • y_3(t)=-7{,}6\operatorname{sen}(43{,}6t), T_3=2\pi/43{,}6.

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