Esboce o gráfico das seguintes funções. Além disso, calcule seus domínios e imagens.
Passo 1
A função é definida em pedaços por valor de x e a tarefa é desenhar seu gráfico, achar o domínio e a imagem. O conteúdo é função definida por partes, domínio e imagem; vamos usar a união de intervalos para o domínio e a união de contranges para a imagem.
Passo 2
Observando as condições em cada parte, notamos que elas cobrem x<−1, −1≤x≤1 e x>1. Portanto o domínio é todo conjunto dos números reais, isto é,
R=(-infty,infty)
Passo 3
Agora, para esboçar o gráfico, examinamos cada parte separadamente:
Para x<−1 temos f(x)=x+3, que é reta de coeficiente angular 1 e intercepto em 3. Em x=−1 ela valeria 2, mas como x<−1, marcamos um círculo aberto em (−1,2) e a reta segue para a esquerda.
Para −1≤x≤1 temos f(x)=-2x, reta de coeficiente −2 cortando y em 0. Nos pontos chave: em x=−1, f(−1)=2 e o ponto (−1,2) é fechado; em x=1, f(1)=−2 e (1,−2) é fechado. Entre eles, a reta liga esses dois pontos.
Para x>1 temos f(x)=-2, linha horizontal constante. A partir de x=1 (não incluído) a curva fica na altura y=−2, então desenhamos um círculo aberto em (1,−2) e prolongamos para a direita.
Juntando tudo, o gráfico mostra três segmentos: reta crescente até um ponto aberto em (−1,2), reta decrescente de (−1,2) até (1,−2) com círculos fechados e, depois, linha horizontal em y=−2 a partir de x>1 com círculo aberto em x=1.
Passo 4
Para a imagem, coletamos os valores que f assume em cada parte:
Na reta x+3 pra x<−1 o f vai de −∞ até aproximar 2 (não atinge), gerando o intervalo (−∞,2).
Na reta −2x em [−1,1] o f varia de f(−1)=2 até f(1)=−2, cobrindo [−2,2].
Na parte constante f=−2 para x>1 gera só o valor −2, já incluído em [−2,2].
A união desses valores é