Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente precisa encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação $ y’’ + 5y’ + 6y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 3 $. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 5r + 6 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 3 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Substituindo $ t = 0 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver o sistema. Da equação (1), podemos expressar $ C_1 $ em termos de $ C_2 $:
Substituindo isso na equação (2):
Agora, substituindo $ C_2 = -7 $ na equação (1):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: