Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente precisa encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação $ y’’ + 5y’ + 6y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 3 $. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, temos:
y'' + a y' + b y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 5r + 6 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Podemos fatorar a equação:
r^2 + 5r + 6 = 0
Isso nos dá duas raízes reais e distintas:
r

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 2
Isso nos dá a primeira equação:
t = 0

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 3 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
y'(0) = 3
Substituindo $ t = 0 $:
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t
Isso nos dá a segunda equação:
t = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
C1 + C2 = 2 (1) -2C1 - 3C2 = 3 (2)
Vamos resolver o sistema. Da equação (1), podemos expressar $ C_1 $ em termos de $ C_2 $:
C1
Substituindo isso na equação (2):
C2
Agora, substituindo $ C_2 = -7 $ na equação (1):
C1 = 2 - C2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 9 e^-2t - 7 e^-3t

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