Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=x^3+1.

Passo 1

Sumarizando: o enunciado pede o esboço do gráfico da função y = x^3 + 1. O conteúdo é análise e esboço de função polinomial de terceiro grau e vamos usar conceitos de domínio, interceptos, derivadas e translação de gráfico.

Passo 2

Reconhecer que y = x^3 + 1 é a função y = x^3 transladada 1 unidade para cima. Isso significa que todas as características de x^3 se mantêm, mas os valores de y são aumentados em 1.

Passo 3

Determinar domínio e imagem: o domínio de qualquer polinômio é R e, como x^3 varia por todos os reais, a imagem também é R. Não há restrições em x nem em y.

Passo 4

Encontrar interceptos com os eixos. Para o eixo y, colocar x=0 gera y = 0^3 + 1 = 1, ou seja o ponto (0,1). Para o eixo x, resolver x^3 + 1 = 0 leva a x = -1, dando o ponto (-1,0).

Passo 5

Analisar monotonicidade e inflexão. A derivada é y' = 3x^2, que é sempre >=0, mostrando que a função é estritamente crescente. A segunda derivada é y'' = 6x, que muda de sinal em x=0, indicando ponto de inflexão em (0,1).

Passo 6

Esboçar o gráfico: marcar os pontos (-1,0) e (0,1), desenhar curva crescente que passa por eles, com ramo à esquerda caindo para yto-infty e à direita subindo para yto+infty, e com ponto de inflexão no ponto marcado de transição de concavidade. Mantém a forma de x^3, mas deslocada 1 unidade para cima.

Resposta

O esboço da função é a curva de uma cúbica crescente com ponto de inflexão em (0,1), interceptando o eixo X em (−1,0) e o eixo Y em (0,1). Trata-se de y = x³ transladada 1 unidade para cima, com ramo à esquerda caindo para −∞ e ramo à direita subindo para +∞.

Exercícios relacionados