Esboce o gráfico das seguintes funções
e) y = x tan(x) ; -pi/2 < x < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função no intervalo de a . Estamos trabalhando com trigonometria e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tangente se comporta e como o fator influencia o gráfico. Vamos identificar pontos chave, analisar assíntotas e ver o comportamento nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente. A é igual a e tem assíntotas verticais onde , ou seja, em . No nosso intervalo, isso significa que a função tende para infinito positivo quando se aproxima de e para infinito negativo quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo para calcular . Vamos pegar , , e .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas. Quando se aproxima de por valores menores, cresce sem limite positivo, e como também está aumentando, tende para . Similarmente, quando se aproxima de , tende para e é negativo, então também tende para .

Passo 5

Vamos observar a simetria da função. Como , temos:
Isso mostra que a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo .

Passo 6

Com base nos pontos calculados e no comportamento nas assíntotas, podemos desenhar o gráfico. A função passa pela origem, atinge em e é simétrica em relação ao eixo . Perto de , o gráfico sobe verticalmente para .

Resposta

O gráfico de no intervalo é simétrico em relação ao eixo , passa pela origem, atinge em e se aproxima verticalmente de conforme se aproxima de .

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