Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de função por partes. Nosso objetivo é esboçar o gráfico da função
, determinar seu domínio, imagem e, se possível, verificar se ela é par ou ímpar. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além dos conceitos de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a definição da função:
A função está definida por duas partes: uma envolvendo uma raiz quadrada para
entre -5 e 5, e uma constante
para
fora desse intervalo. Isso significa que precisamos analisar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos começar determinando o domínio da função, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida.
Na primeira parte,
, a expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser não negativa, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Então:
A segunda parte da função está definida para
ou
. Juntando as duas partes, o domínio da função é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de
.
Para
:
A expressão
varia de
a
porque quando
,
, e quando
,
. Então:
Para
ou
:
Portanto, a imagem total da função é:
Passo 5
Vamos verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função
é par se
e ímpar se
.
Vamos calcular
:
Para
:
Para
:
Para
:
Em todos os casos,
, então a função é par.
Resposta
A função
é definida para todos os números reais (
), sua imagem é o intervalo
e ela é uma função par. O gráfico consiste em uma semicircunferência deslocada para cima e uma linha horizontal em
para
e
.