Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). f(x) = { 4 + raiz(25 - x^2) se -5 <= x <= 5; 4 se x < -5 ou x > 5 }

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de função por partes. Nosso objetivo é esboçar o gráfico da função , determinar seu domínio, imagem e, se possível, verificar se ela é par ou ímpar. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além dos conceitos de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a definição da função:
A função está definida por duas partes: uma envolvendo uma raiz quadrada para entre -5 e 5, e uma constante para fora desse intervalo. Isso significa que precisamos analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos começar determinando o domínio da função, ou seja, todos os valores de para os quais a função está definida.
Na primeira parte, , a expressão dentro da raiz quadrada, , deve ser não negativa, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Então:
A segunda parte da função está definida para ou . Juntando as duas partes, o domínio da função é:
ú

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de .
Para :
A expressão varia de a porque quando , , e quando , . Então:
Para ou :
Portanto, a imagem total da função é:

Passo 5

Vamos verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se e ímpar se .
Vamos calcular :
Para :
Para :
Para :
Em todos os casos, , então a função é par.

Resposta

A função é definida para todos os números reais ( ), sua imagem é o intervalo e ela é uma função par. O gráfico consiste em uma semicircunferência deslocada para cima e uma linha horizontal em para e .

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