Esboce os gráficos das equações polares. Indique eventuais simetrias com relação aos eixos ou à origem. Determine o nome da curva.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a curva polar dada por
: esboçar o gráfico, indicar eventuais simetrias em relação aos eixos ou à origem, e determinar o nome da curva.
Informações fornecidas: a equação em coordenadas polares é . Não há restrição explícita no enunciado sobre o intervalo de
, então devemos considerar todos os
.
Informações fornecidas: a equação em coordenadas polares é
Passo 2
Antes de desenhar, vamos lembrar como coordenadas polares se relacionam com Cartesianas (aula rápida e prática). Seja um ponto no plano com coordenadas polares
. As fórmulas de conversão são:
Aqui
é a distância do ponto à origem (pólo) e
é o ângulo medido a partir do eixo positivo
(eixo polar). Essas fórmulas são essenciais para identificar a curva na forma cartesiana e desenhá-la com facilidade na prova.
Passo 3
Vamos transformar
para coordenadas Cartesianas para identificar a curva. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Agora substituímos
e
. Assim:
Para reconhecer a forma geométrica, completamos o quadrado em
. Reescrevendo:
ou seja,
Interpretação: é um círculo de centro
e raio
. Esse círculo é tangente ao pólo (origem) em
e está todo na metade direita do plano (porque o centro tem
e o raio é
, então
para pontos da curva).
Passo 4
Teste de simetrias (mostrar como fazer na prova):
- Simetria em relação ao eixo polar (eixo
): substituímos por na lei polar. Como , temos Conclusão: a curva é simétrica em relação ao eixo (eixo polar). - Simetria em relação ao eixo
(reta ): substituir por . Temos em geral, então não há simetria em relação ao eixo . - Simetria em relação à origem: algumas fontes sugerem testar
. Aqui Esse fato apenas mostra uma redundância na representação polar (o par e representam o mesmo ponto). Para ver se há simetria central (reflexão pela origem) como conjunto de pontos, é mais seguro usar a forma cartesiana: a reflexão de um ponto do círculo dado por não satisfaz em geral a mesma equação, logo o conjunto não é simétrico pela origem. Conclusão: a curva não é simétrica em relação ao ponto origem (como conjunto), apenas possui a igualdade polar acima por causa da representação com possivelmente negativa.
Passo 5
Pontos notáveis e como esboçar (na prova é bom marcar alguns pontos para garantir o formato):
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto na origem .
Esses pontos já mostram claramente um arco circular à direita do eixopassando por e por .
Passo 6
Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe os eixos coordenados e marque o pólo (origem).
- Trace o círculo de centro
e raio . Para isso, marque o centro em no eixo e faça um círculo de raio ; ele passará por e por . - Marque os pontos calculados em
Passo 7
- Observe que a curva é totalmente à direita do eixo
e simétrica em relação ao eixo ; portanto o esboço é o círculo completo de centro e raio .
Observação sobre o traçado em função de: ao variar de até obtemos e traçamos todo o círculo uma vez. Valores de fora desse intervalo produzem e representam os mesmos pontos já obtidos (representação redundante).
Passo 8
Interpretações geométricas úteis para decorar:
- A curva passa pela origem, logo é tangente ao pólo.
- É um círculo de raio
cujo diâmetro vai de até (ou seja, diâmetro de comprimento ). - Forma simples e muito comum em provas: equações do tipo
são círculos deslocados ao longo do eixo .
Resposta
Esboço: círculo de equação
(centro
, raio
), localizado à direita do eixo
e tangente na origem.
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar (eixo ); não há simetria em relação ao eixo
nem simetria central (origem) como conjunto.
Nome da curva: círculo (centro , raio
).
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar (eixo
Nome da curva: círculo (centro