Esboce os gráficos das equações polares. Indique eventuais simetrias com relação aos eixos ou à origem. Determine o nome da curva.
r=2 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a curva polar dada por r=2\cos\theta: esboçar o gráfico, indicar eventuais simetrias em relação aos eixos ou à origem, e determinar o nome da curva.
Informações fornecidas: a equação em coordenadas polares é \,r=2\cos\theta\,. Não há restrição explícita no enunciado sobre o intervalo de \theta, então devemos considerar todos os \theta\in\mathbb{R}.

Passo 2

Antes de desenhar, vamos lembrar como coordenadas polares se relacionam com Cartesianas (aula rápida e prática). Seja um ponto no plano com coordenadas polares (r,\theta). As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2.
Aqui r é a distância do ponto à origem (pólo) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x (eixo polar). Essas fórmulas são essenciais para identificar a curva na forma cartesiana e desenhá-la com facilidade na prova.

Passo 3

Vamos transformar \,r=2\cos\theta\, para coordenadas Cartesianas para identificar a curva. Multiplicando ambos os lados por r obtemos:
r^2 = 2r\cos\theta.
Agora substituímos r^2 = x^2+y^2 e r\cos\theta = x. Assim:
x^2+y^2 = 2x.
Para reconhecer a forma geométrica, completamos o quadrado em x. Reescrevendo:
x^2 - 2x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2 -1 + y^2 = 0,
ou seja,
(x-1)^2 + y^2 = 1.
Interpretação: é um círculo de centro (1,0) e raio 1. Esse círculo é tangente ao pólo (origem) em (0,0) e está todo na metade direita do plano (porque o centro tem x=1 e o raio é 1, então 0\le x\le 2 para pontos da curva).

Passo 4

Teste de simetrias (mostrar como fazer na prova):
  • Simetria em relação ao eixo polar (eixo x): substituímos \theta por -\theta na lei polar. Como \cos(-\theta)=\cos\theta, temos r(-\theta)=2\cos(-\theta)=2\cos\theta=r(\theta).Conclusão: a curva é simétrica em relação ao eixo x (eixo polar).
  • Simetria em relação ao eixo y (reta \theta=\pi/2): substituir \theta por \pi-\theta. Temos r(\pi-\theta)=2\cos(\pi-\theta)=-2\cos\theta\neq r(\theta),em geral, então não há simetria em relação ao eixo y.
  • Simetria em relação à origem: algumas fontes sugerem testar r(\theta+\pi). Aqui r(\theta+\pi)=2\cos(\theta+\pi)=-2\cos\theta=-r(\theta).Esse fato apenas mostra uma redundância na representação polar (o par (r,\theta) e (-r,\theta+\pi) representam o mesmo ponto). Para ver se há simetria central (reflexão pela origem) como conjunto de pontos, é mais seguro usar a forma cartesiana: a reflexão (x,y)\mapsto(-x,-y) de um ponto do círculo dado por (x-1)^2+y^2=1 não satisfaz em geral a mesma equação, logo o conjunto não é simétrico pela origem. Conclusão: a curva não é simétrica em relação ao ponto origem (como conjunto), apenas possui a igualdade polar acima por causa da representação com r possivelmente negativa.

Passo 5

Pontos notáveis e como esboçar (na prova é bom marcar alguns pontos para garantir o formato):
  • \theta=0:\; r=2\cos0=2 → ponto (x,y)=(2,0).
  • \theta=\pi/3:\; r=2\cos(\pi/3)=2\cdot\frac12=1 → ponto (x,y)=(1\cos\pi/3,1\sin\pi/3)=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}).
  • \theta=-\pi/3:\; r=1 → ponto (\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}).
  • \theta=\pm\frac{\pi}{2}:\; r=2\cos(\pm\frac{\pi}{2})=0 → ponto na origem (0,0).
    Esses pontos já mostram claramente um arco circular à direita do eixo y passando por (0,0) e por (2,0).

Passo 6

Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os eixos coordenados e marque o pólo (origem).
  2. Trace o círculo de centro (1,0) e raio 1. Para isso, marque o centro em x=1 no eixo x e faça um círculo de raio 1; ele passará por (0,0) e por (2,0).
  3. Marque os pontos calculados em

Passo 7

  1. Observe que a curva é totalmente à direita do eixo y e simétrica em relação ao eixo x; portanto o esboço é o círculo completo de centro (1,0) e raio 1.
    Observação sobre o traçado em função de \theta: ao variar \theta de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2} obtemos r\ge0 e traçamos todo o círculo uma vez. Valores de \theta fora desse intervalo produzem r<0 e representam os mesmos pontos já obtidos (representação redundante).

Passo 8

Interpretações geométricas úteis para decorar:
  • A curva passa pela origem, logo é tangente ao pólo.
  • É um círculo de raio 1 cujo diâmetro vai de (0,0) até (2,0) (ou seja, diâmetro de comprimento 2).
  • Forma simples e muito comum em provas: equações do tipo r=a\cos\theta são círculos deslocados ao longo do eixo x.

Resposta

Esboço: círculo de equação (x-1)^2+y^2=1 (centro (1,0), raio 1), localizado à direita do eixo y e tangente na origem.
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar (eixo x); não há simetria em relação ao eixo y nem simetria central (origem) como conjunto.
Nome da curva: círculo (centro (1,0), raio 1).

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