Expresse em coordenadas retangulares as equações polares dadas:
r=-5 \cos \theta

Passo 1

O que o problema pede: expressar em coordenadas retangulares (ou seja, em x e y) a equação polar dada.
Informação fornecida pelo enunciado:
r = -5\cos\theta

Passo 2

Relembrando as relações entre coordenadas polares e retangulares (essas são as ferramentas que vamos usar; explico por que cada uma é útil):
  • r é a distância do ponto à origem.
  • \theta é o ângulo formado com o eixo x.
    As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
r^{2} = x^{2}+y^{2}.
Explicação curta: r\cos\theta dá a projeção horizontal (ou seja, a coordenada x), r\sin\theta dá a projeção vertical (coordenada y), e a relação r^{2}=x^{2}+y^{2} vem do teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo formado por x, y e r.

Passo 3

Começamos manipulando a equação polar para poder usar as relações acima. Multiplico ambos os lados por r (isso é uma etapa comum para eliminar \cos\theta multiplicado por r nas conversões):
r\cdot r = r\cdot (-5\cos\theta)
ou seja,
r^{2} = -5r\cos\theta.
Observação: multiplicar por r é válido; se r=0 a igualdade também é satisfeita e será capturada na forma final.

Passo 4

Agora substituo com as relações retangulares: r^{2}=x^{2}+y^{2} e r\cos\theta = x. Fazendo as substituições na igualdade anterior:
x^{2}+y^{2} = -5x.
Explanação: trocamos r^{2} por x^{2}+y^{2} (distância ao quadrado) e r\cos\theta por x (projeção no eixo x).

Passo 5

Coloco a equação numa forma polinomial mais comum, passando tudo para o lado esquerdo:
x^{2} + 5x + y^{2} = 0.
Essa já é uma equação em x e y — estamos quase na forma padrão de uma circunferência, só falta completar o quadrado para identificar centro e raio.

Passo 6

Para identificar centro e raio, completo o quadrado em x. Lembre que, para completar o quadrado em x^{2}+bx, adicionamos e subtraímos \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Aqui b=5, então \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}. Aplicando:
x^{2}+5x = \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2} - \dfrac{25}{4}.
Substituindo na equação x^{2}+5x+y^{2}=0 e somando \dfrac{25}{4} em ambos os lados, obtemos:
\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2} + y^{2} = \dfrac{25}{4}.

Passo 7

Interpretação geométrica (útil para provas): a equação \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2} + y^{2} = \dfrac{25}{4} é a equação de uma circunferência de centro \left(-\dfrac{5}{2},\,0\right) e raio \dfrac{5}{2}. Observação sobre o sinal negativo em r: a presença de r negativo na forma polar faz com que pontos daquela circunferência sejam atingidos por ângulos \theta apropriados (não precisamos ajustar nada na forma cartesiana; a curva resultante é exatamente essa circunferência).

Resposta

x^{2}+y^{2} = -5x
\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2} + y^{2} = \dfrac{25}{4}

Exercícios relacionados