Expresse em coordenadas retangulares as equações polares dadas:
Passo 1
O que o problema pede: expressar em coordenadas retangulares (ou seja, em
e
) a equação polar dada.
Informação fornecida pelo enunciado:
Informação fornecida pelo enunciado:
Passo 2
Relembrando as relações entre coordenadas polares e retangulares (essas são as ferramentas que vamos usar; explico por que cada uma é útil):
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo formado com o eixo .
As fórmulas de conversão são:
Explicação curta:
dá a projeção horizontal (ou seja, a coordenada
),
dá a projeção vertical (coordenada
), e a relação
vem do teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo formado por
,
e
.
Passo 3
Começamos manipulando a equação polar para poder usar as relações acima. Multiplico ambos os lados por
(isso é uma etapa comum para eliminar
multiplicado por
nas conversões):
ou seja,
Observação: multiplicar por
é válido; se
a igualdade também é satisfeita e será capturada na forma final.
Passo 4
Agora substituo com as relações retangulares:
e
. Fazendo as substituições na igualdade anterior:
Explanação: trocamos
por
(distância ao quadrado) e
por
(projeção no eixo
).
Passo 5
Coloco a equação numa forma polinomial mais comum, passando tudo para o lado esquerdo:
Essa já é uma equação em
e
— estamos quase na forma padrão de uma circunferência, só falta completar o quadrado para identificar centro e raio.
Passo 6
Para identificar centro e raio, completo o quadrado em
. Lembre que, para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos
. Aqui
, então
. Aplicando:
Substituindo na equação
e somando
em ambos os lados, obtemos:
Passo 7
Interpretação geométrica (útil para provas): a equação
é a equação de uma circunferência de centro
e raio
. Observação sobre o sinal negativo em
: a presença de
negativo na forma polar faz com que pontos daquela circunferência sejam atingidos por ângulos
apropriados (não precisamos ajustar nada na forma cartesiana; a curva resultante é exatamente essa circunferência).