Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Esboçar o gráfico da função quadrática
. - Determinar o domínio e a imagem dessa função.
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
Primeira ferramenta prática para esboçar uma parábola: escrever
na forma vértice, também chamada forma canônica. Isso facilita achar o vértice (o ponto mais alto ou mais baixo) e entender a abertura da parábola.
Vamos completar o quadrado para transformar
em forma vértice.
Explicando passo a passo a técnica:
- Peguei
e somei e subi porque . Isso me permite escrever . - Como somei
dentro da expressão, subtraí depois para manter o valor original. - O resultado final é a forma vértice
.
Passo 3
A partir da forma vértice
identifico o vértice e a orientação da parábola:
- Vértice: o termo
indica que o deslocamento horizontal é ; o termo é o valor mínimo/ máximo. Portanto o vértice é . - Abertura: o coeficiente de
na forma original é . Como , a parábola abre para cima — isso significa que o vértice é um mínimo. - Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja
.
Passo 4
Calculando as raízes (intersecções com o eixo
) para ter pontos-chave no esboço. Uso a fórmula quadrática ou a forma encontrada.
Discriminante:
Raízes:
Assim as interseções com o eixo
são
e
(aproximadamente
e
).
Passo 5
Interseção com o eixo
(ponto onde
):
Logo o ponto
é o intercepto em
.
Passo 6
Montando uma pequena tabela de pontos simétricos para facilitar o esboço à mão (muito útil na prova):
Calculei alguns valores:
Calculei alguns valores:
Note a simetria em torno de
: os pontos
e
são simétricos;
e
também.
Passo 7
Instrução prática para esboçar (passo a passo que você pode usar na prova):
- Marque o vértice
. - Trace a reta de eixo de simetria
. - Marque as raízes
onde a parábola cruza o eixo . - Marque o intercepto em
, que é . - Marque mais alguns pontos da tabela, por exemplo
e . - Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com a parábola abrindo para cima e sendo simétrica em relação a
.
Isso produz um esboço preciso o suficiente para uma prova: vértice em
, cruzamentos no eixo
em
, intercepto em
em
e concavidade para cima.
Passo 8
Agora, conclusões sobre domínio e imagem:
- Domínio: como
é um polinômio (expressão com potências inteiras não negativas de ), ela está definida para todo . - Imagem: como a parábola abre para cima e tem mínimo no vértice com valor
, a imagem é o conjunto de todos os maiores ou iguais a .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: