Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=x^{2}+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f:
  • Esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=x^{2}+2x-1.
  • Determinar o domínio e a imagem dessa função.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+2x-1.

Passo 2

Primeira ferramenta prática para esboçar uma parábola: escrever f(x) na forma vértice, também chamada forma canônica. Isso facilita achar o vértice (o ponto mais alto ou mais baixo) e entender a abertura da parábola.
Vamos completar o quadrado para transformar f(x) em forma vértice.
\begin{aligned} f(x) &= x^{2}+2x-1 \\\ &= \bigl(x^{2}+2x+1\bigr)-1-1 \\\ &= (x+1)^{2}-2. \end{aligned}
Explicando passo a passo a técnica:
  • Peguei x^{2}+2x e somei e subi 1 porque \left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}=1. Isso me permite escrever x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
  • Como somei 1 dentro da expressão, subtraí 1 depois para manter o valor original.
  • O resultado final é a forma vértice (x+1)^{2}-2.

Passo 3

A partir da forma vértice (x+1)^{2}-2 identifico o vértice e a orientação da parábola:
  • Vértice: o termo (x+1)^{2} indica que o deslocamento horizontal é -1; o termo -2 é o valor mínimo/ máximo. Portanto o vértice é (-1,-2).
  • Abertura: o coeficiente de x^{2} na forma original é a=1. Como a>0, a parábola abre para cima — isso significa que o vértice é um mínimo.
  • Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja x=-1.

Passo 4

Calculando as raízes (intersecções com o eixo x) para ter pontos-chave no esboço. Uso a fórmula quadrática ou a forma encontrada.
Discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8.
Raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Assim as interseções com o eixo x são x=-1-\sqrt{2} e x=-1+\sqrt{2} (aproximadamente -2{,}414 e 0{,}414).

Passo 5

Interseção com o eixo y (ponto onde x=0):
f(0)=0^{2}+2\cdot0-1=-1.
Logo o ponto (0,-1) é o intercepto em y.

Passo 6

Montando uma pequena tabela de pontos simétricos para facilitar o esboço à mão (muito útil na prova):
Calculei alguns valores:
\begin{aligned} f(-3)&=(-3)^{2}+2(-3)-1=9-6-1=2,\\\ f(-2)&=(-2)^{2}+2(-2)-1=4-4-1=-1,\\\ f(-1)&=-2\quad\text{(vértice)},\\\ f(0)&=-1,\\\ f(1)&=1+2-1=2. \end{aligned}é
Note a simetria em torno de x=-1: os pontos (-3,2) e (1,2) são simétricos; (-2,-1) e (0,-1) também.

Passo 7

Instrução prática para esboçar (passo a passo que você pode usar na prova):
  1. Marque o vértice (-1,-2).
  2. Trace a reta de eixo de simetria x=-1.
  3. Marque as raízes x=-1\pm\sqrt{2} onde a parábola cruza o eixo x.
  4. Marque o intercepto em y, que é (0,-1).
  5. Marque mais alguns pontos da tabela, por exemplo (-3,2) e (1,2).
  6. Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com a parábola abrindo para cima e sendo simétrica em relação a x=-1.
Isso produz um esboço preciso o suficiente para uma prova: vértice em (-1,-2), cruzamentos no eixo x em x=-1\pm\sqrt{2}, intercepto em y em (0,-1) e concavidade para cima.

Passo 8

Agora, conclusões sobre domínio e imagem:
  • Domínio: como f(x) é um polinômio (expressão com potências inteiras não negativas de x), ela está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Imagem: como a parábola abre para cima e tem mínimo no vértice com valor y=-2, a imagem é o conjunto de todos os y maiores ou iguais a -2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left[-2,\infty\right)

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