Uma empresa tem um lucro mensal modelado pela função quadrática
L(x)=-2 x^{2}+16 x-24
onde x representa o número de unidades vendidas (em centenas).
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de x a empresa terá prejuízo?

Passo 1

O enunciado nos dá a função lucro mensal
L(x)=-2x^{2}+16x-24,
onde x representa o número de unidades vendidas (em centenas). As perguntas são claramente:
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de x a empresa terá prejuízo?
Informações relevantes que já temos (peguei direto do enunciado):
  • A função é um polinômio quadrático do tipo L(x)=ax^{2}+bx+c com a=-2, b=16, c=-24.
  • A variável x está em centenas de unidades (por exemplo, x=1 significa 100 unidades).
    Nada mais será assumido; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo o comportamento de uma quadrática: quando uma função é da forma
L(x)=ax^{2}+bx+c,
o coeficiente a determina se a parábola abre para cima ( a>0, mínimo) ou para baixo ( a<0, máximo). Aqui temos a=-2<0, então a parábola abre para baixo e a função tem um único ponto de máximo (o vértice). Isso responde qualitativamente que existe um lucro máximo em algum x; falta achar onde exatamente e qual é o valor.
Vou usar a fórmula do vértice para encontrar o x que maximiza L(x). Explico bem a fórmula no próximo passo.

Passo 3

Fórmula do vértice (explicação): para uma quadrática ax^{2}+bx+c, a abscissa (valor de x) do vértice é dada por
x_v = -\frac{b}{2a}.
O raciocínio por trás: é a coordenada x onde a derivada L'(x)=2ax+b se anula; ou, alternativamente, pode-se completar o quadrado para escrever a quadrática na forma canônica a(x-x_v)^2+L(x_v). Nesta fórmula, a e b são os coeficientes da quadrática e dão a posição do vértice.
Aplicando ao nosso caso ( a=-2, b=16):
x_v = -\frac{16}{2\cdot(-2)}.

Passo 4

Calculemos x_v:
x_v = -\frac{16}{-4} = 4.
Interpretação: x=4 (lembre: em centenas) significa que o lucro é máximo quando se vendem 4 centenas = 4\times 100 = 400 unidades.

Passo 5

Agora vamos achar o valor do lucro máximo L(4). Substituímos x=4 na função:
L(4) = -2\cdot 4^{2} + 16\cdot 4 - 24.
Faço as contas passo a passo:
4^{2}=16,
-2\cdot 16 = -32,
16\cdot 4 = 64,
L(4) = -32 + 64 - 24.
Somando em ordem:
-32 + 64 = 32,
32 - 24 = 8.
Portanto o lucro máximo é 8 (nas unidades que a função L mede).

Passo 6

Agora a parte (c): para quais x a empresa tem prejuízo? Prejuízo significa L(x)<0. Primeiro encontramos os pontos onde L(x)=0 (pontos de equilíbrio ou “break-even”), depois analisamos os sinais entre essas raízes.
Começo resolvendo a equação
-2x^{2}+16x-24=0.
Para simplificar, divido ambos os lados por -2 (isso não altera as raízes):
x^{2}-8x+12=0.

Passo 7

Resolver x^{2}-8x+12=0 por fatoração: procuro dois números cujo produto é 12 e soma é -8. Esses números são -2 e -6. Logo:
x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6).
Assim as raízes são x=2 e x=6. Esses são os pontos onde L(x)=0.

Passo 8

Análise de sinais (explicação e conclusão): como a=-2<0, a parábola abre para baixo; portanto L(x)>0 entre as raízes e L(x)<0 fora das raízes. Em palavras: o lucro é positivo quando 2<x<6 e é negativo (prejuízo) quando x<2 ou x>6. Lembrando a escala, isso significa prejuízo se vender menos de 2 centenas = menos de 200 unidades, ou mais de 6 centenas = mais de 600 unidades. Observação: em x=2 e x=6 o lucro é zero (ponto de empate).

Resposta

(a) x=4 (ou seja, 400 unidades)
(b) L(4)=8
(c) Prejuízo para x<2 ou x>6 (isto é, para menos de 200 unidades ou mais de 600 unidades)

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