Uma empresa tem um lucro mensal modelado pela função quadrática
onde
representa o número de unidades vendidas (em centenas).
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de
a empresa terá prejuízo?
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado nos dá a função lucro mensal
onde
representa o número de unidades vendidas (em centenas). As perguntas são claramente:
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de a empresa terá prejuízo?
(a) Para quantas unidades vendidas o lucro será máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(c) Para quais valores de
Informações relevantes que já temos (peguei direto do enunciado):
- A função é um polinômio quadrático do tipo
com , , . - A variável
está em centenas de unidades (por exemplo, significa unidades).
Nada mais será assumido; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Entendendo o comportamento de uma quadrática: quando uma função é da forma
o coeficiente
determina se a parábola abre para cima (
, mínimo) ou para baixo (
, máximo). Aqui temos
, então a parábola abre para baixo e a função tem um único ponto de máximo (o vértice). Isso responde qualitativamente que existe um lucro máximo em algum
; falta achar onde exatamente e qual é o valor.
Vou usar a fórmula do vértice para encontrar o
que maximiza
. Explico bem a fórmula no próximo passo.
Passo 3
Fórmula do vértice (explicação): para uma quadrática
, a abscissa (valor de
) do vértice é dada por
O raciocínio por trás: é a coordenada
onde a derivada
se anula; ou, alternativamente, pode-se completar o quadrado para escrever a quadrática na forma canônica
. Nesta fórmula,
e
são os coeficientes da quadrática e dão a posição do vértice.
Aplicando ao nosso caso (
,
):
Passo 4
Calculemos
:
Interpretação:
(lembre: em centenas) significa que o lucro é máximo quando se vendem
centenas =
unidades.
Passo 5
Agora vamos achar o valor do lucro máximo
. Substituímos
na função:
Faço as contas passo a passo:
Somando em ordem:
Portanto o lucro máximo é
(nas unidades que a função
mede).
Passo 6
Agora a parte (c): para quais
a empresa tem prejuízo? Prejuízo significa
. Primeiro encontramos os pontos onde
(pontos de equilíbrio ou “break-even”), depois analisamos os sinais entre essas raízes.
Começo resolvendo a equação
Para simplificar, divido ambos os lados por
(isso não altera as raízes):
Passo 7
Resolver
por fatoração: procuro dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
. Logo:
Assim as raízes são
e
. Esses são os pontos onde
.
Passo 8
Análise de sinais (explicação e conclusão): como
, a parábola abre para baixo; portanto
entre as raízes e
fora das raízes. Em palavras: o lucro é positivo quando
e é negativo (prejuízo) quando
ou
. Lembrando a escala, isso significa prejuízo se vender menos de
centenas = menos de
unidades, ou mais de
centenas = mais de
unidades. Observação: em
e
o lucro é zero (ponto de empate).
Resposta
(a)
(ou seja,
unidades)
(b)
(c) Prejuízo para ou
(isto é, para menos de
unidades ou mais de
unidades)
(b)
(c) Prejuízo para