Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=|\cos (x)|-1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y = \lvert \cos(x)\rvert - 1.
O conteúdo é transformação de função trigonométrica: primeiro aplicamos valor absoluto em \cos(x) e depois fazemos um deslocamento vertical de -1. Vamos usar o gráfico de \cos(x), transformá-lo em \lvert \cos(x)\rvert e depois transportar tudo uma unidade para baixo.

Passo 2

Começamos com y_1 = \lvert \cos(x)\rvert.
  • O gráfico de \cos(x) tem período 2\pi e oscila entre -1 e 1.
  • Aplicar o valor absoluto reflete a parte negativa para cima, gerando um gráfico com “vales” preenchidos:
  • Para x\in[0,\pi/2], \cos(x)\ge0 então \lvert \cos(x)\rvert = \cos(x).
  • Para x\in[\pi/2,3\pi/2], \cos(x)\le0 então \lvert \cos(x)\rvert = -\cos(x).
  • O novo período passa a ser \pi, pois cada meia volta de \cos(x) já reproduz a forma de \lvert \cos(x)\rvert.

Passo 3

Agora definimos
y = y_1 - 1 = \lvert \cos(x)\rvert - 1.
Isso desloca todo o gráfico de \lvert \cos(x)\rvert uma unidade para baixo. Consequências:
  • A amplitude de \lvert \cos(x)\rvert era de 0 a 1; agora y varia de -1 a 0.
  • Os pontos de máximo passam a ter y=0; os pontos de mínimo têm y=-1.

Passo 4

Vamos detalhar um período fundamental, digamos x\in[0,\pi]:
  1. Em x=0: \cos(0)=1\implies y=1-1=0.
  2. Em x=\pi/2: \cos(\pi/2)=0\implies y=0-1=-1.
  3. Em x=\pi: \cos(\pi)=-1, mas \lvert -1\rvert=1\implies y=1-1=0.
    No intervalo [0,\pi/2] o gráfico é a curva de \cos(x)-1 (concavidade para baixo); em [\pi/2,\pi] é a curva de -\cos(x)-1 (concavidade para cima).

Passo 5

Para esboçar:
  • Marque os pontos (0,0), (\pi/2,-1), (\pi,0).
  • Ligue (0,0) a (\pi/2,-1) com a porção de cosseno deslocado para baixo.
  • Ligue (\pi/2,-1) a (\pi,0) com a porção de -\cos(x)-1.
  • Repita esse “arco” de comprimento \pi para a direita e para a esquerda, já que o período é \pi.

Resposta

O gráfico de y=\lvert \cos(x)\rvert-1 é uma função periódica de período \pi, com “v” invertido entre (k\pi,0) e ((2k+1)\pi/2,-1) e depois subindo de volta a ((k+1)\pi,0), para todo k\in\mathbb{Z}.

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