Considere as funções
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+3, & \text { se } x \geqslant 0, \\\ x^{2}, & \text { se } x<0, \end{array} \quad, \quad g(x)= \begin{cases}2 x+1, & \text { se } x \geqslant 3, \\\ x, & \text { se } x<3 .\end{cases}\right.
Calcule as funções f \circ g e g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por partes:
f(x)= \begin{cases} x+3, & x\ge0,\\\ x^2, & x<0, \end{cases} \quad g(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\ge3,\\\ x, & x<3. \end{cases}
O conteúdo é composição de funções piecewise. Vamos primeiro achar (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e depois (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr), cuidando dos pontos em que cada ramo muda.

Passo 2

Para (f\circ g)(x) primeiro observamos como é g(x):
  • Se x<3, então g(x)=x.
  • Se x\ge3, então g(x)=2x+1.
Em seguida aplicamos f ao resultado, lembrando que f(u)=u+3 se u\ge0 e f(u)=u^2 se u<0.

Passo 3

Caso x<3. Então g(x)=x.
  1. Se x<0, temos g(x)=x<0, logo
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(x)=x^2.
  1. Se 0\le x<3, então g(x)=x\ge0, logo
(f\circ g)(x)=f(x)=x+3.

Passo 4

Caso x\ge3. Então g(x)=2x+1. Como 2x+1\ge7>0, usamos sempre o ramo f(u)=u+3. Assim
(f\circ g)(x)=f\bigl(2x+1\bigr)=(2x+1)+3=2x+4.

Passo 5

Juntando tudo,
(f\circ g)(x)= \begin{cases} x^2, & x<0,\\\ x+3, & 0\le x<3,\\\\ 2x+4, & x\ge3. \end{cases}

Passo 6

Agora (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr). Primeiro f(x):
  • Se x\ge0, então f(x)=x+3\ge3.
  • Se x<0, então f(x)=x^2\ge0, mas pode ficar abaixo ou acima de 3.
Depois aplicamos g(u)=u se u<3 e g(u)=2u+1 se u\ge3.

Passo 7

  1. Se x\ge0, então f(x)=x+3\ge3, logo
(g\circ f)(x)=g\bigl(x+3\bigr)=2(x+3)+1=2x+7.
  1. Se x<0, então f(x)=x^2.
  • Se x^2<3, isto é -\sqrt3<x<\sqrt3, mas aqui x<0, sobra -\sqrt3<x<0. Como f(x)<3, usamos g(u)=u, logo
(g\circ f)(x)=x^2.
  • Se x^2\ge3, isto é x\le -\sqrt3, então f(x)\ge3 e
(g\circ f)(x)=2x^2+1.

Passo 8

Reunindo:
(g\circ f)(x)= \begin{cases} 2x^2+1, & x\le -\sqrt3,\\\ x^2, & -\sqrt3 < x <0,\\\\ 2x+7, & x\ge0. \end{cases}

Resposta

(f\circ g)(x)= \begin{cases} x^2, & x<0,\\\ x+3, & 0\le x<3,\\\\ 2x+4, & x\ge3, \end{cases} \qquad (g\circ f)(x)= \begin{cases} 2x^2+1, & x\le -\sqrt3,\\\ x^2, & -\sqrt3 < x <0,\\\\ 2x+7, & x\ge0. \end{cases}

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